Trovare una parabola dato V e la direttrice
Buongiorno a tutti.
A scuola (sono in seconda liceo scientifico) stiamo imparando a determinare l'equazione di una parabola conoscendo punti, rette tangenti o direttrice.
Ecco il problema che mi sta facendo impazzire:
Scrivi l’equazione della parabola avente per direttrice la retta di equazione $y=-5/4$ e vertice in V (0,-1).
Io ho seguito questo procedimento:
A scuola (sono in seconda liceo scientifico) stiamo imparando a determinare l'equazione di una parabola conoscendo punti, rette tangenti o direttrice.
Ecco il problema che mi sta facendo impazzire:
Scrivi l’equazione della parabola avente per direttrice la retta di equazione $y=-5/4$ e vertice in V (0,-1).
Io ho seguito questo procedimento:
- ho fatto passare la parabola per il vertice, sostituendo in $y=ax^2+bx+c$ le coordinate di V: $-1=a0^2+b0+c$ che diventa $c=-1$.
siccome la coordinata x del vertice è -b/2a=0, alloa $b=0$.[/list:u:3fwksrj1]
Arrivata a questo punto mi sono arenata completamente. Potreste per favore spiegarmi gli "step" successivi in modo semplice e senza saltare passaggi?
So che su alcuni forum di solito bisogna presentarsi prima di aprire un nuovo argomento, ma purtroppo ho poco tempo a disposizione al momento. Vi prometto che più tardi, se è necessario, aprirò un argomento nella sezione apposita.
Risposte
Un modo di risolvere il problema è quello di utilizzare la definizione della parabola come il luogo dei punti equidistanti dalla direttrice e dal fuoco.
Per trovare le coordinate del fuoco $F$ basta ricordare che il vertice $V$ (dato) è il punto medio del segmento che ha per estremi il fuoco $F$ e la proiezione $H$ di $F$ sulla direttice (data).
Quindi, se la direttrice è $y=-5/4$ e il vertice ha coordinate $V(0, -1)$, il fuoco ha coordinate $F(0, -3/4)$.
Perciò se $P(x, y)$ è un generico punto della parabola, l'equazione si ottiene calcolando la distanza di $P$ dalla direttrice ($=|y+5/4|$) e uguagliandola alla distanza di $P$ dal fuoco $F$ ($=sqrt((x-0)^2+(y+3/4)^2)$).
Per trovare le coordinate del fuoco $F$ basta ricordare che il vertice $V$ (dato) è il punto medio del segmento che ha per estremi il fuoco $F$ e la proiezione $H$ di $F$ sulla direttice (data).
Quindi, se la direttrice è $y=-5/4$ e il vertice ha coordinate $V(0, -1)$, il fuoco ha coordinate $F(0, -3/4)$.
Perciò se $P(x, y)$ è un generico punto della parabola, l'equazione si ottiene calcolando la distanza di $P$ dalla direttrice ($=|y+5/4|$) e uguagliandola alla distanza di $P$ dal fuoco $F$ ($=sqrt((x-0)^2+(y+3/4)^2)$).
ciao Mikymik
Oltre al metodo esposto da Chiaraotta (che saluto) che è assolutamente corretto e molto valido perchè tiene in considerazione la definizione stessa di parabola, ne esiste un secondo, te lo aggiungo
Scriviamo la parabola generica $y=ax^2+bx+c$
La coordinata x del vertice è $x_v=-b/(2a)$ da cui ricavi subito, come hai già scritto... $b=0$
Quindi la parabola è $y=ax^2+c$
Ora la coordinata y del vertice la conosciamo quindi imponiamo che la curva passi per V(0,-1) e abbiamo
$c=-1$
e la tua parabola diventa $y=ax^2-1$
Ora si parla di direttrice... una retta che non so perchè ma è sempre sottovalutata... mi ricordo anche quando facevo il liceo si studiava all'inizio nella definizione poi basta mai più vista per anni... invece ogni tanto salta fuori... basterebbe ricordare che cosa è e a memoria la sua "formula"...ricorda che la direttrice è la retta di equazione $y=(-1-Delta)/(4a)$ dove con ovvia notazione $Delta=b^2-4ac$ e nel nostro caso $Delta=4a$.
Quindi hai
$y=(-1-Delta)/(4a)=$
$=(-1-4a)/(4a)=-5/4$
ma allora
$(1+4a)/(4a)=5/4$
da cui
$1+4a=5a$
cioè
$a=1$
e la tua parabola diventa infine $y=x^2-1$
and we have done...
ciao!!
Oltre al metodo esposto da Chiaraotta (che saluto) che è assolutamente corretto e molto valido perchè tiene in considerazione la definizione stessa di parabola, ne esiste un secondo, te lo aggiungo
Scriviamo la parabola generica $y=ax^2+bx+c$
La coordinata x del vertice è $x_v=-b/(2a)$ da cui ricavi subito, come hai già scritto... $b=0$
Quindi la parabola è $y=ax^2+c$
Ora la coordinata y del vertice la conosciamo quindi imponiamo che la curva passi per V(0,-1) e abbiamo
$c=-1$
e la tua parabola diventa $y=ax^2-1$
Ora si parla di direttrice... una retta che non so perchè ma è sempre sottovalutata... mi ricordo anche quando facevo il liceo si studiava all'inizio nella definizione poi basta mai più vista per anni... invece ogni tanto salta fuori... basterebbe ricordare che cosa è e a memoria la sua "formula"...ricorda che la direttrice è la retta di equazione $y=(-1-Delta)/(4a)$ dove con ovvia notazione $Delta=b^2-4ac$ e nel nostro caso $Delta=4a$.
Quindi hai
$y=(-1-Delta)/(4a)=$
$=(-1-4a)/(4a)=-5/4$
ma allora
$(1+4a)/(4a)=5/4$
da cui
$1+4a=5a$
cioè
$a=1$
e la tua parabola diventa infine $y=x^2-1$
and we have done...
ciao!!
Grazie di cuore ad entrambi! Finalmente ho capito come procedere!
Provo a farne un altro, vediamo se arrivo al risultato da sola...
Provo a farne un altro, vediamo se arrivo al risultato da sola...
La tua parabola sarà della forma $y=ax^2-1$ con $a>0$
Le sue intersezioni con l'asse $x$ sono $x_1=sqrt(a)/a$, il fuoco Fper simmetria si trova in $y=-3/4$, per definizione di parabola dunque:
$5/4=x_1-F$
$5/4=sqrt(x_1^2+9/16)$
$25/16=x_1^2+9/16$
$x_1^2=1$
$a/a^2=1$
$a=a^2$
$a=1$
La parabola cercata $ y=x^2-1$
Le sue intersezioni con l'asse $x$ sono $x_1=sqrt(a)/a$, il fuoco Fper simmetria si trova in $y=-3/4$, per definizione di parabola dunque:
$5/4=x_1-F$
$5/4=sqrt(x_1^2+9/16)$
$25/16=x_1^2+9/16$
$x_1^2=1$
$a/a^2=1$
$a=a^2$
$a=1$
La parabola cercata $ y=x^2-1$
Grazie a tutti voi finalmente so come risolvere questo tipo di problemi!
Adesso devo per caso segnalare ai moderatori di chiudere questo argomento o lo lasciano aperto?
Adesso devo per caso segnalare ai moderatori di chiudere questo argomento o lo lasciano aperto?
Lo lasciano aperto... servirà si spera anche a qualcun altro in futuro!
ciao!
ciao!
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