Trovare raggio del cerchio circoscritto

[marti2401]

Ciao a tutti!
Mi sto scervellando su questo problema: Dato un triangolo scaleno, la proporzione ha:hb:hc=2:3:4 e l'area del triangolo A=9,485. Determinare il raggio del cerchio circoscritto.

Sono sicura che il problema debba essere risolto tramite la trigonometria:

$ r=frac{a}{2*sin(alpha)}=frac{b}{2*sin(beta)}=frac{c}{2*sin(gamma)} $
$ ha=c*sin(beta) $
$ hb=c*sin(alpha) $
$ hc=a*sin(beta) $
$ ha=b*sin(gamma) $
$ hb=a*sin(gamma) $
$ hc=b*sin(alpha) $
Teorema dei seni
Teorema di Carnot (dei coseni)
Inoltre $ ha:hb:hc=frac{1}{a}:frac{1}{b}:frac{1}{c} $

Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi.

[giammaria2]

Poichè le altezze sono inversamente proporzionali ai lati, la proporzione diventa $a:b:c=1/2:1/3:1/4$, quindi puoi porre $a=1/2x, b=1/3x, c=1/4x$. Per calcolare x non è necessaria la trigonometria purchè tu ricordi la formula (di Erone?) $A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$, dove p è il semiperimetro.
Noti i lati, non è difficile calcolare il raggio richiesto: c'è una formula apposita, ma pochi la ricordano; suggerisco la trigonometria.

[marti2401]

Ottimo, grazie mille, sono riuscita a risolverlo senza problemi in questo modo.
Però mi chiedo se può esserci eventualmente anche un altro metodo di risoluzione senza dover ricorrere alla formula di Erone?

[@melia]

Teorema dei seni?
$a/sin alpha=b/sinbeta=c/singamma=2R$ dove R è il raggio del cerchio ciecoscritto

[giammaria2]

@melia. ha pensato anch'io al teorema dei seni, che ha il pregio di introdurre subito la R voluta, ma poi non sapevo bene come proseguire; se hai qualche buone idea, ti prego di scriverla. Do una risposta molto più banale e che richiede calcoli abbastanza lunghi: col teorema di Carnot calcoli il coseno di un angolo, ad esempio $alpha$ (la x scompare); ne deduci il seno e calcoli l'area con la formula $A=1/2bcsen alpha$.

[@melia]

È chiaro che per trovare un angolo serve Carnot, ma stavo pensando ai miei studenti che un po' di trigonometria la masticano, ma non tirar fuori la geometria sintetica che può provocare allergia grave.

[marti2401]

Grazie milla a tutti, ho risolto il problema come proposto da giammaria... Mi sembra il metodo più facile e veloce se si vuole usare esclusivamente la trigonometria...