Trovare punti sul piano cartesiano tali che ...

[Thalion1]

Salve,
sono nuovo del forum e vorrei proporvi un problema a cui io non riesco trovare una soluzione, o meglio ... l'ho trovata ... ma non come penso doveva essere trovata ! Ora vi spiego, ma prima vi cito il testo del problema :

"Considerati i punti A(-2a;-1) e B(a-5;-1), con a numero positivo, determina a in modo che la distanza $\bar{AB}$ sia uguale a 7. Determina poi il punto C di ascissa 5, in modo che il triangolo ABC abbia area che misura 35."

Allora ... io ho iniziato trovando a utilizzando la formula della distanza tra due punti e ponendola uguale a 7, così :

$sqrt([(a-5)-(-2a)]^2+(-1+1)^2)=7$

vi risparmio i passaggi ... fino ad arrivare a :

$3a^2-10a-8=0$

calcolo il delta : $\Delta=100+96=196$

poi le radici : $x_{1,2}=(10+-sqrt(196))/(6)$
$x_1=4$
$x_2=-2/3$

il problema richiede che a sia positiva quindi prendo 4 come valore da sostiture appunto ad a ... trovando che :
A(-8;-1)
B(-1;-1)
e fin qui è tutto ok.

Ora vengono per me i problemi ... determinare il punto C tale che l'area del triangolo misuri 35.

Io ho ragionato in questo modo :
- sapendo che l'area del triangolo si trova $(base*h)/2$
- sapendo che la base o comunque un lato misura 7
- sapendo che l'area deve misurare 35

$(7*10)/2=35$

Ecco che allora l'altezza deve misurare 10 ... quindi io, disegnando sul piano cartesiano i punti A e B e avendo già l'ascissa di C, ho trovato anche la sua ordinata, spostandomi di 10 unità rispetto alla base, verso l'alto e verso il basso. Quindi C(5;9) o C(5;-11)
Quindi io avrei risolto il problema però "graficamente".

Io vorrei sapere se secondo voi c'è un altro modo di risolvere il problema magari utilizzando una qualche formula inversa che non conosco. L'ho pensate davvero tutte ... non mi basta l'aver risolto il problema graficamente. Anche perchè in questo caso è stato semplice, visto che la base è parallela all'asse delle X ... ma fosse stata obbliqua non sarei riuscito a risolverlo graficamente.

Vi ringrazio anticipatamente.

[@melia]

La soluzione algebrica non è molto diversa, in questo caso. Infatti hai calcolato che l'altezza del triangolo deve misurare 10, questo significa che la distanza di C dalla retta AB è 10. La retta AB ha equazione $y=-1$ ovvero $y+1=0$, adesso basta applicare la formula della distanza punto-retta e porla uguale a 10, che nel caso particolare è $|y+1|=10$, risolvendo l'equazione ottieni i due valori cercati.

[Thalion1]

Grazie tante !