Trovare l'espressione analitica di una funzione
Ciao, sto cercando in vano di risolvere un esercizio:
Mi vengono forniti 3 punti e 2 limiti per abbozzare il grafico di una funzione f
Poi mi vengono forniti altri 6 limiti per tracciare un abbozzo di grafico della relativa funzione derivata f'
Il problema richiede che io disegni a grandi linee il grafico della funzione primitiva f
Come sto ragionando (e probabilmente mi sto complicando la vita):
Avevo intenzione, partendo dal grafico della derivata, di trovare l'espressione analitica della funzione e poi integrarla per ottenere la funzione primitiva di partenza e qui c'è il mio dubbio: come fare?
Alternativamente ho pensato di ragionare sul significato geometrico di derivata e quindi dalla pendenza del grafico ricavare il limite del rapporto incrementale che l'ha generata e quindi il grafico della funzione nei 3 punti dati, ma anche qui come sopra non so da dove iniziare, potreste darmi una mano?
Grazie
Mi vengono forniti 3 punti e 2 limiti per abbozzare il grafico di una funzione f
Poi mi vengono forniti altri 6 limiti per tracciare un abbozzo di grafico della relativa funzione derivata f'
Il problema richiede che io disegni a grandi linee il grafico della funzione primitiva f
Come sto ragionando (e probabilmente mi sto complicando la vita):
Avevo intenzione, partendo dal grafico della derivata, di trovare l'espressione analitica della funzione e poi integrarla per ottenere la funzione primitiva di partenza e qui c'è il mio dubbio: come fare?
Alternativamente ho pensato di ragionare sul significato geometrico di derivata e quindi dalla pendenza del grafico ricavare il limite del rapporto incrementale che l'ha generata e quindi il grafico della funzione nei 3 punti dati, ma anche qui come sopra non so da dove iniziare, potreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Beh, senza sapere esattamente i limiti che ti danno è un po' difficile dare una risposta esaustiva. Anche perché da essi potresti ricavare informazioni aggiuntive. Comunque se riesci a tracciare il grafico abbozzato di \(f'\) sai esattamente l'andamento di \(f\) (come cresce e decresce) e considerandone limiti e punti in cui passa, se sufficienti, sai tracciarne un grafico.
Così, se dovessi fare un'ipotesi a occhio in base alle informazioni date, direi che \(f\) ha due asintoti nei due limiti forniti. Allora l'intero grafico viene spezzato in tre parti e perciò, conoscendo l'andamento di \(f'\), ti sono sufficienti tre punti (uno in ciascuno di questi sottointervalli di \(\mathbb{R}\)) per "posizionare" \(f\): conosci l'andamento di \(f\) grazie a \(f'\) e dove farla passare grazie a tali punti. Infatti se ti dovessi trovare per integrazione la primitiva di \(f'\) (cosa di cui non necessiti) in essa comparirebbe una costante additiva indeterminata per la quale \(f\) viene traslata nel senso dell'ordinata. Noti i punti in cui passa \(f\), tale costante è determinata.
Così, se dovessi fare un'ipotesi a occhio in base alle informazioni date, direi che \(f\) ha due asintoti nei due limiti forniti. Allora l'intero grafico viene spezzato in tre parti e perciò, conoscendo l'andamento di \(f'\), ti sono sufficienti tre punti (uno in ciascuno di questi sottointervalli di \(\mathbb{R}\)) per "posizionare" \(f\): conosci l'andamento di \(f\) grazie a \(f'\) e dove farla passare grazie a tali punti. Infatti se ti dovessi trovare per integrazione la primitiva di \(f'\) (cosa di cui non necessiti) in essa comparirebbe una costante additiva indeterminata per la quale \(f\) viene traslata nel senso dell'ordinata. Noti i punti in cui passa \(f\), tale costante è determinata.
Ho i punti f(0)=0 , f(-3)=1 ed f(-2)=0
E i limiti della primitiva:
$\lim_(x-> -oo)f(x)$ = +$oo$
$\lim_(x-> +oo)f(x)$ = +$oo$
I limiti della derivata prima:
$lim_(x->-3^-)f'(x)$ = -1
$lim_(x->-3^+)f'(x)$ = -$oo$
$lim_(x->0^-)f'(x)$ = +$oo$
$lim_(x->0^+)f'(x)$ = -1
$lim_(x->1^-)f'(x)$ = -1
$lim_(x->1^+)f'(x)$ = 0
E i limiti della primitiva:
$\lim_(x-> -oo)f(x)$ = +$oo$
$\lim_(x-> +oo)f(x)$ = +$oo$
I limiti della derivata prima:
$lim_(x->-3^-)f'(x)$ = -1
$lim_(x->-3^+)f'(x)$ = -$oo$
$lim_(x->0^-)f'(x)$ = +$oo$
$lim_(x->0^+)f'(x)$ = -1
$lim_(x->1^-)f'(x)$ = -1
$lim_(x->1^+)f'(x)$ = 0
Ti ricordo che
Considera che nelle regioni in cui non hai informazioni sull'andamento della funzione, essa potrebbe assumere qualsiasi comportamento: scegli il più semplice
. A titolo d'esempio: sai che la funzione \(f\) a \(-\infty\) vale \(+\infty\) e che \(f(-3)=1\), perciò la funzione è decrescente e arriva in tale punto (\(-3\)) da sinistra con un'inclinazione di \(45°\) rispetto all'asse \(x\) in senso orario.
"papergun":e non che si ricavi la forma analitica di \(f\), dunque ti è sufficiente provare a
Il problema richiede che [si] disegni a grandi linee il grafico della funzione primitiva f
"papergun":Sai quale inclinazione deve avere la retta tangente al grafico nei punti \(-3\), \(0\), \(1\). Metti assieme tali informazioni con i valori che \(f\) assume in \(-3\), \(-2\), \(0\), \(\pm\infty\) ed il gioco è fatto.
ragionare sul significato geometrico di derivata e quindi [di] pendenza del grafico
Considera che nelle regioni in cui non hai informazioni sull'andamento della funzione, essa potrebbe assumere qualsiasi comportamento: scegli il più semplice
. A titolo d'esempio: sai che la funzione \(f\) a \(-\infty\) vale \(+\infty\) e che \(f(-3)=1\), perciò la funzione è decrescente e arriva in tale punto (\(-3\)) da sinistra con un'inclinazione di \(45°\) rispetto all'asse \(x\) in senso orario.
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