Trovare dominio di funzioni e valore assoluto:

[shintek201]

Salve,siccome sul mio libro in alcuni esercizi non mette il risultato,vorrei sapere se questi mi sono risultati:

1)$f(x)=e^(x+2),Dominio=AA€RR$

2)$F(X)=sqrt(ctgx)$ Dominio=$90<=x<0°;180
3)$f(x)=e^x-2$Df=$AA€RR$

Poi,ho molte difficoltà con quelle che hanno il valore assoluto,ed avrei alcune domande:
Le soluzione del valore assoluto sono sempre non negative?
Ma com'è è possibile,questa uguaglianza?Cioè se il valore assoluto di un numero reale x è sempre non negativo,perchè in questo caso il valore assoluto di x è -x,se x<0?
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/i ... fcac68.png

Le equazioni col valore assoluto posso sempre risolverle elevando al quadrato?Cioè:
$f(x)=1/(|x+1|-2)$ Pongo denominatore diverso da 0,cioè:
$|x+1|-2$,e poi elevo al quadrato $x^2+1+2x!=4$,$x^2+2x-3!=0,x!=-3,1$
Cosi risulta,ma vorrei sapere se questo metodo si può sempre applicare?E soprattutto non riesco a capire il perchè lo applichiamo,cioè qual è la sua motivazione?Esiste un altro modo più corretto,o va bene questo?

Come trovo invece il dominio di questa funzione:

$f(x)=e^x/(3-e^x)$,pongo il denominatore diverso da 0,fino ad avere: $e^x!=3$ e poi come continuo?

[giammaria2]

Domanda 1
Nella seconda funzione dovevi scrivere $0^o
Domanda 2
Supponi che $x$ sia negativo: per avere il suo valore assoluto devi togliere il meno, cioè cambiarlo di segno. Ad esempio, se $x=-3$ allora $|x|=3=-x$

Domanda 3
No, il metodo che indichi non è sempre valido, anzi richiede un attento controllo dei segni. Ad esempio, se tu avessi avuto $|x+1| \ne -2$ sarebbe stato sbagliato elevare a quadrato: il secondo membro è negativo e quindi certamente diverso dal primo. Il metodo sempre valido è distinguere in due casi, a seconda che $x$ sia maggiore o minore di $-1$ (in uno qualsiasi dei due casi consideri anche l'uguale; se preferisci, puoi anche considerarlo in entrambi). E' però un metodo lunghetto: quando si ha la certezza che entrambi i membri non sono negativi di solito è più breve elevare a quadrato. Così facendo si raddoppia il grado, quindi questo metodo è spesso sconsigliabile se il grado è maggiore di 1.

Domanda 4
Prendi il logaritmo dei membri: $x \ne ln3$

[chiaraotta1]

"shintek20":
2)$F(X)=sqrt(ctgx)$ Dominio=$90<=x<0°;180

$0°

"shintek20":
Poi,ho molte difficoltà con quelle che hanno il valore assoluto,ed avrei alcune domande:
Le soluzione del valore assoluto sono sempre non negative?
Ma com'è è possibile,questa uguaglianza?Cioè se il valore assoluto di un numero reale x è sempre non negativo,perchè in questo caso il valore assoluto di x è -x,se x<0?

Appunto, se $x<0$, allora $-x>0$ e quindi anche in questo caso $|x|$ è $>0$.

"shintek20":
Le equazioni col valore assoluto posso sempre risolverle elevando al quadrato?Cioè:
$f(x)=1/(|x+1|-2)$ Pongo denominatore diverso da 0,cioè:
$|x+1|-2$,e poi elevo al quadrato $x^2+1+2x!=4$,$x^2+2x-3!=0,x!=-3,1$

Anche così: da $|x+1|-2!=0$, puoi dire che $x+1!=+-2$ e quindi $x!=-3$, $x!=1$.

"shintek20":
Come trovo invece il dominio di questa funzione:
$f(x)=e^x/(3-e^x)$,pongo il denominatore diverso da 0,fino ad avere: $e^x!=3$ e poi come continuo?

$x!=ln(3)$

[shintek201]

Domanda 2
Supponi che x sia negativo: per avere il suo valore assoluto devi togliere il meno, cioè cambiarlo di segno. Ad esempio, se $x=−3$ allora $|x|=3=−x$

Appunto, se x<0, allora −x>0 e quindi anche in questo caso |x| è >0.

Mi dispiace,ma continuo a non capire :\...cioè per definizione:il valore assoluto di un numero reale x è una funzione che associa a x un numero reale non negativo.Quindi come è possibile,che risulti dopo un valore negativo? cioè,parlando di esempi,se io ho :$|2||$le soluzioni sono?Se io ho $|-2|$,le soluzioni sono?

Domanda 3No, il metodo che indichi non è sempre valido, anzi richiede un attento controllo dei segni. Ad esempio, se tu avessi avuto |x+1|≠−2 sarebbe stato sbagliato elevare a quadrato: il secondo membro è negativo e quindi certamente diverso dal primo. Il metodo sempre valido è distinguere in due casi, a seconda che x sia maggiore o minore di −1 (in uno qualsiasi dei due casi consideri anche l'uguale; se preferisci, puoi anche considerarlo in entrambi). E' però un metodo lunghetto: quando si ha la certezza che entrambi i membri non sono negativi di solito è più breve elevare a quadrato. Così facendo si raddoppia il grado, quindi questo metodo è spesso sconsigliabile se il grado è maggiore di 1.

Quale sarebbe il passaggio lungo?:\

Domanda 4
Prendi il logaritmo dei membri: $x≠ln3$

Potreste dirmi,gentilmente,tutto i passaggio che si deve fare?Coi logaritmi non sono molto bravo.
Vi ringrazio tutti

[chiaraotta1]

"shintek20":
Mi dispiace,ma continuo a non capire :\...cioè per definizione:il valore assoluto di un numero reale x è una funzione che associa a x un numero reale non negativo.Quindi come è possibile,che risulti dopo un valore negativo? cioè,parlando di esempi,se io ho :$|2||$le soluzioni sono?Se io ho $|-2|$,le soluzioni sono?

Scusa, ma non capisco cosa c'entrino le soluzioni. Soluzioni di cosa?
Comunque, se applichi la definizione di valore assoluto hai:
caso 1: l'argomento del valore assoluto è $>=0$, allora il valore assoluto coincide con l'argomento; per es. $|+2| =+2$;
caso 2: l'argomento del valore assoluto è $<0$, allora il valore assoluto coincide con l'opposto dell'argomento; per es. $|-2|=-(-2)=+2$.
In ambedue i casi il risultato è $>=0$.

"shintek20":

Domanda 4
Prendi il logaritmo dei membri: $x≠ln3$

Potreste dirmi,gentilmente,tutto i passaggio che si deve fare?Coi logaritmi non sono molto bravo.
Vi ringrazio tutti

Da $e^x!=3->ln(e^x)!=ln(3)->x*ln(e)!=ln(3)->x*1!=ln(3)->x!=ln(3)$

[shintek201]

Mmmh...mi è un pò più chiaro il concetto,ma sono ancora molto insicuro...
Per l'altra grazie l'ho capita! =)

[giammaria2]

Alle spiegazioni di chiaraotta aggiungo una precisazione ed una risposta da lei non data.

il valore assoluto di un numero reale x è una funzione che associa a x un numero reale non negativo.Quindi come è possibile,che risulti dopo un valore negativo?

Quando vediamo un segno meno istintivamente pensiamo ad un nunero negativo e questo è vero se il meno è seguito da un numero positivo: esempio $-5$. Se però dopo il meno c'è un numero negativo diventa falso: ad esempio $-(-7)$ è positivo. Se il meno è seguito da una lettera, cioè da un numero di cui non sappiamo il segno, diventa necessario distinguere due casi.

Quale sarebbe il passaggio lungo?

Te lo illustro con un esempio diverso da quello dato: $|x+1| \ne 2x$. Allora:
Caso A: $x>=-1$) $x+1 \ne 2x -> x \ne 1$
Caso B: $x<-1$) $-x-1 \ne2x -> ...->x \ne -1/3$
La prima soluzione rientra nel caso A, quindi va considerata; la seconda invece non interessa perché non rientra nel caso B.
Il metodo indicato da chiaraotta (lo confesso, non ci avevo pensato) è breve, ma applicabile solo quando c'è un membro certamente positivo: per questo ho cercato un esempio diverso, in cui non si sa il segno del secondo membro. Se tentassimo di applicare qui quel metodo troveremmo comunque le mie due soluzioni ma non ci renderemmo conto che ne va bene una sola.

[shintek201]

Grazie =) mi è più chiaro il concetto...dovrò verificare con degli esercizi =)