Trovare dei k per delle x capricciose
ciao a tutti ragazzi
Ho un problema che mi sta tirando matto
, nel senso che penso di aver svolto correttamente ogni passaggio, forse ne ho fatti anche troppi di passaggi 
... fatto sta che non trovo gli errori, ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi.
Ordunque, tutto parte da questa equazioncina qui
: $ 2x^2-4x+k-3=0 $
ci si chiede di trovare i valori di K affinche' siano soddisfatte le seguenti condizioni:
$ A): x_1=x_2 $
$ B): x_1=0 ^^ x_2!= 0vv x_1!= 0^^ x_2=0 $
$ C): x_1!= x_2 $
$ D): x_1<0^^ x_2<0 $
$ E): 1/x_1+1/x_2=4/3 $
$ F): x_1^3+x_2^3=11 $
$ G): x_1/x_2=3 $
dunque, anzitutto ho trovato le due x con i ''k dentro'':
$ x_1=1+sqrt(2(5-k)) /2 $
$ x_2=1-sqrt(2(5-k)) /2 $
e da queste ho risolto senza problemi il punto A (k=5), il punto B (k=3), il punto C (k<5) e il punto D (non e' possibile).
I probelmi vengono ai punti E, F, G, me ne fosse venuto uno!
vi invio i passaggi che ho fatto per arrivare alla conclusione del punto E; abbiate pazienza, mi sto ancora impratichendo a inserire le formule col formulario del forum
, e l'editor che ho utilizzato per scrivere le formule mi permette di esportare solo file grafici. Quindi aggiungo qui le immagini, non me ne vogliate... 
vedete perche' impazzisco?
ho trovato i due valori di K che si possono sostituire alla equazione finale:
$ k^2-10k-11=0 $
che sono appunto k1=11 e k2=-1, ma appena li metto nella equazione della condizione E, ossia:
$ 1/(1+sqrt(2(5-k)) /2)+1/(1-sqrt(2(5-k)) /2)=4/3 $
mi da' come risultato per k=-1 il paradosso che -1 sia uguale a 4/3; e per k=11 addirittura delle radici di -12
Ho provato poi invano a risolvere anche i punti F e G, anche li mi sono venuti dei paradossi, casomai li postero' piu' avanti.
In attesa di un vostro cortese riscontro e ringraziandovi sentitamente per la collaborazione, vi saluto con cordialita'
William
Ho un problema che mi sta tirando matto
, nel senso che penso di aver svolto correttamente ogni passaggio, forse ne ho fatti anche troppi di passaggi ... fatto sta che non trovo gli errori, ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi.Ordunque, tutto parte da questa equazioncina qui
: $ 2x^2-4x+k-3=0 $
ci si chiede di trovare i valori di K affinche' siano soddisfatte le seguenti condizioni:
$ A): x_1=x_2 $
$ B): x_1=0 ^^ x_2!= 0vv x_1!= 0^^ x_2=0 $
$ C): x_1!= x_2 $
$ D): x_1<0^^ x_2<0 $
$ E): 1/x_1+1/x_2=4/3 $
$ F): x_1^3+x_2^3=11 $
$ G): x_1/x_2=3 $
dunque, anzitutto ho trovato le due x con i ''k dentro'':
$ x_1=1+sqrt(2(5-k)) /2 $
$ x_2=1-sqrt(2(5-k)) /2 $
e da queste ho risolto senza problemi il punto A (k=5), il punto B (k=3), il punto C (k<5) e il punto D (non e' possibile).
I probelmi vengono ai punti E, F, G, me ne fosse venuto uno!
vi invio i passaggi che ho fatto per arrivare alla conclusione del punto E; abbiate pazienza, mi sto ancora impratichendo a inserire le formule col formulario del forum
, e l'editor che ho utilizzato per scrivere le formule mi permette di esportare solo file grafici. Quindi aggiungo qui le immagini, non me ne vogliate... 
vedete perche' impazzisco?
ho trovato i due valori di K che si possono sostituire alla equazione finale:$ k^2-10k-11=0 $
che sono appunto k1=11 e k2=-1, ma appena li metto nella equazione della condizione E, ossia:
$ 1/(1+sqrt(2(5-k)) /2)+1/(1-sqrt(2(5-k)) /2)=4/3 $
mi da' come risultato per k=-1 il paradosso che -1 sia uguale a 4/3; e per k=11 addirittura delle radici di -12
Ho provato poi invano a risolvere anche i punti F e G, anche li mi sono venuti dei paradossi, casomai li postero' piu' avanti.
In attesa di un vostro cortese riscontro e ringraziandovi sentitamente per la collaborazione, vi saluto con cordialita'
William
Risposte
Molti di questi esercizi si risolvono senza trovare esplicitamente le radici ma utilizzando le proprietà delle equazioni di secondo grado, in particolare quelle relative alla somma e al prodotto delle radici.
Data une generica equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ tu sai che $s=x_1+x_2=-b/a$ e $p=x_1*x_2=c/a$
Da qui la E) diventa $(x_1+x_2)/(x_1x_2)=4/3$ cioè $3s=4p$ ...
Cordialmente, Alex
Data une generica equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ tu sai che $s=x_1+x_2=-b/a$ e $p=x_1*x_2=c/a$
Da qui la E) diventa $(x_1+x_2)/(x_1x_2)=4/3$ cioè $3s=4p$ ...
Cordialmente, Alex
Il metodo più veloce per i primi punti è lavorare sul delta e ricodando che data l’equazione nella forma $a x^2 + b x + c=0$ la somma delle radici $x_1 + x_2 = -b/a $ e prodotto eradici $x_1 x_2 =c/a$:
A)imponi delta dell'equazione=0 (soluzioni reali e coincidenti)
B) sai che il prodotto delle radici è dato da $({k-3}/2)$.. quindi basta mettere prodotto radici=0 per soddisfare la condizione descritta
C) delta $>0$
D)somma delle radici $<0 $ e prodotto radici $>0$
E) sviluppa e metti a denominatore comune otttenendo ${x_2 + x_1}/{x_1 * x_2} =4/3$.. cosi nel primo membro ti compare la somma delle radici a denominatore e il prodotto delle radici a denominatore..
F) sviluppa secondo la regola del falso cubo:
$(x_1 ^3 + x_2 ^3) = (x_1+x_2)(x_1 ^2 –x_1 x_2 + x_2 ^2)= (x_1+x_2)(x_1 ^2 –x_1 x_2 + x_2 ^2 -2x_1 x_2 + 2 x_1 x_2)= (x_1+x_2) [(x_1+x_2)^2 -3x_1 x_2] $
E nei vari termini riconosci la somma e il prodotto delle radici…
A)imponi delta dell'equazione=0 (soluzioni reali e coincidenti)
B) sai che il prodotto delle radici è dato da $({k-3}/2)$.. quindi basta mettere prodotto radici=0 per soddisfare la condizione descritta
C) delta $>0$
D)somma delle radici $<0 $ e prodotto radici $>0$
E) sviluppa e metti a denominatore comune otttenendo ${x_2 + x_1}/{x_1 * x_2} =4/3$.. cosi nel primo membro ti compare la somma delle radici a denominatore e il prodotto delle radici a denominatore..
F) sviluppa secondo la regola del falso cubo:
$(x_1 ^3 + x_2 ^3) = (x_1+x_2)(x_1 ^2 –x_1 x_2 + x_2 ^2)= (x_1+x_2)(x_1 ^2 –x_1 x_2 + x_2 ^2 -2x_1 x_2 + 2 x_1 x_2)= (x_1+x_2) [(x_1+x_2)^2 -3x_1 x_2] $
E nei vari termini riconosci la somma e il prodotto delle radici…
dimenticavo..
il punto G lo risolvi mettendo a sistema quella condizione che , con $x_2$ diversa da $0$ ti porta a $x_1 = 3x_2$, con:
${[x_1=3 x_2],[x_1 + x_2 =-b/a],[x_1 x_2 =c/a] :}$
il punto G lo risolvi mettendo a sistema quella condizione che , con $x_2$ diversa da $0$ ti porta a $x_1 = 3x_2$, con:
${[x_1=3 x_2],[x_1 + x_2 =-b/a],[x_1 x_2 =c/a] :}$
Non ne vedo la necessità ... basta $x_1^2=3p$
Ringrazio per le risposte, ho provato a svolgere il punto E con i consigli che mi avete dato e sono giunto a questo:
quindi k dovrebbe valere 6 per risolvere la equazione E. Benissimo. Per verifica ho provato a sostituire k=6 ai valori delle x trovate e ho svolto i calcoli...
a meno che non abbia sbagliato nel moltiplicare quelle radici negative, sono giunto a un paradosso con tanto di temutissima divisione per zero
e allora mi sono domandato, ma non e' che le x iniziali che ho ricavato sono sbagliate? ditemi voi...
mi sembra giusto come procedimento... e allora dove diamine sta l'inghippo??
grazie per l'attenzione.
quindi k dovrebbe valere 6 per risolvere la equazione E. Benissimo. Per verifica ho provato a sostituire k=6 ai valori delle x trovate e ho svolto i calcoli...
a meno che non abbia sbagliato nel moltiplicare quelle radici negative, sono giunto a un paradosso con tanto di temutissima divisione per zero
e allora mi sono domandato, ma non e' che le x iniziali che ho ricavato sono sbagliate? ditemi voi...
mi sembra giusto come procedimento... e allora dove diamine sta l'inghippo??
grazie per l'attenzione.
Semplicemente, non esistono $x_1$ e $x_2$ che soddisfino la E) ... non è necessario fare tutti quei conti per la verifica, ti basta sostituire $k=6$ in una delle espressioni delle radici ...
@ william housebutters
Come ti è già stato detto, nel caso E) le soluzioni non sono reali e la verifica non è necessaria. Se però vuoi farla, deve comunque dare il giusto risultato, che a te non viene per due errori: nella penultima riga l'ultimo addendo va preceduto dal meno e nell'ultima riga sbagli un prodotto.
I calcoli giusti sono (uso il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$):
$(x_1+x_2)/(x_1x_2)=(1+sqrt(-2)/2+1-sqrt(-2)/2)/((1+sqrt(_2)/2)(1-sqrt(-2)/2))=2/(1-(sqrt(-2)/2)^2)=2/(1-(-2)/4)=2/(1+1/2)=2/(3/2)=4/3$
@axpgn
Nel caso G) è vero che $x_1^2=3p$, ma poi come continui? Preferisco la soluzione di mic999
Come ti è già stato detto, nel caso E) le soluzioni non sono reali e la verifica non è necessaria. Se però vuoi farla, deve comunque dare il giusto risultato, che a te non viene per due errori: nella penultima riga l'ultimo addendo va preceduto dal meno e nell'ultima riga sbagli un prodotto.
I calcoli giusti sono (uso il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$):
$(x_1+x_2)/(x_1x_2)=(1+sqrt(-2)/2+1-sqrt(-2)/2)/((1+sqrt(_2)/2)(1-sqrt(-2)/2))=2/(1-(sqrt(-2)/2)^2)=2/(1-(-2)/4)=2/(1+1/2)=2/(3/2)=4/3$
@axpgn
Nel caso G) è vero che $x_1^2=3p$, ma poi come continui? Preferisco la soluzione di mic999
Scusami, ma lui ha già "trovato" $x_1$ ...
Vero, ma prova a fare i calcoli e scoprirai che non sono brevi. Oltre a tutto, ottieni un'equazione irrazionale e bisogna controllare l'accettabilità delle due soluzioni ottenute (una va scartata).
Invece con l'altro metodo il sistema delle prime due equazioni dà subito i valori di $x_(1,2)$ ; sostituendoli nella terza ricavi $k$.
Invece con l'altro metodo il sistema delle prime due equazioni dà subito i valori di $x_(1,2)$ ; sostituendoli nella terza ricavi $k$.
Li ho fatti i calcoli e un'equazione di secondo grado non mi pare la fine del mondo ma "de gustibus" 
... la soluzione accettabile è $9/2$ (se mi ricordo ancora da ieri ... l'altra era $3$)
Comunque, giusto per discutere, tu mi hai chiesto "come continui" non "è più facile l'altra" ...
Però non dico questo per polemica ma per una questione didattica: a priori come si può sostenere che una via è migliore di un'altra? Tu hai un occhio che è impensabile per l'OP e, a mio opinabilissimo parere, è più "facile" "vedere" la mia trasformazione che quel sistema ... però siamo sempre lì cioè che cosa è più semplice per l'OP? A priori ovviamente ...
Cordialmente, Alex
... la soluzione accettabile è $9/2$ (se mi ricordo ancora da ieri ... l'altra era $3$)Comunque, giusto per discutere, tu mi hai chiesto "come continui" non "è più facile l'altra" ...
Però non dico questo per polemica ma per una questione didattica: a priori come si può sostenere che una via è migliore di un'altra? Tu hai un occhio che è impensabile per l'OP e, a mio opinabilissimo parere, è più "facile" "vedere" la mia trasformazione che quel sistema ... però siamo sempre lì cioè che cosa è più semplice per l'OP? A priori ovviamente ...
Cordialmente, Alex
Scusa l'ignoranza, ma cosa è abbreviato da OP? Dal contesto direi che indica lo studente o la persona che ha posto la domanda, ma cosa significa esattamente?
Comunque, "giusto per discutere" e " per una questione didattica", faccio le seguenti osservazioni:
- L'intero esercizio è basato sull'uso delle formule di somma e prodotto delle radici; l'allievo deve quindi chiedersi come utilizzarle allo scopo voluto. A posteriori gli si può mostrare che hanno abbreviato i calcoli.
- La soluzione più facile da "vedere" è
$(2+sqrt(10-2k))/2=3*(2-sqrt(10-2k))/2$
che fra l'altro si risolve rapidamente. Naturalmente ammettendo che $x_1$ sia la radice col più, e questa critica vale anche per la tua soluzione.
Comunque, "giusto per discutere" e " per una questione didattica", faccio le seguenti osservazioni:
- L'intero esercizio è basato sull'uso delle formule di somma e prodotto delle radici; l'allievo deve quindi chiedersi come utilizzarle allo scopo voluto. A posteriori gli si può mostrare che hanno abbreviato i calcoli.
- La soluzione più facile da "vedere" è
$(2+sqrt(10-2k))/2=3*(2-sqrt(10-2k))/2$
che fra l'altro si risolve rapidamente. Naturalmente ammettendo che $x_1$ sia la radice col più, e questa critica vale anche per la tua soluzione.
"giammaria":
Scusa l'ignoranza, ma cosa è abbreviato da OP?
Pensavo lo sapessi, visto che io l'ho imparato qui dentro
(dove è usato spesso)OP sta per "Open Poster" cioè colui che ha aperto la discussione (od anche "Open Post" cioè "messaggio di apertura")
"giammaria":
- L'intero esercizio è basato sull'uso delle formule di somma e prodotto delle radici; l'allievo deve quindi chiedersi come utilizzarle allo scopo voluto.
Vero, peccato che gliel'abbia dovuto dire io perché lui non lo sapeva ...
"giammaria":
- La soluzione più facile da "vedere" è ...
Vero anche questo ma siccome questo era il modo con cui l'avrebbe svolto lui e proprio per utilizzare i concetti appena citati, ho voluto utilizzare un metodo alternativo ma veloce da impostare ...
"giammaria":
Naturalmente ammettendo che $ x_1 $ sia la radice col più, e questa critica vale anche per la tua soluzione.
Certo, mi sono posto la questione ed ho visto che la radice col "più" era sicuramente positiva e di conseguenza sicuramente maggiore dell'altra ... isn't it?
Cordialmente, Alex
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo