Trovare coefficiente in una funzione di funzione

[TheBarbarios]

Salve a tutti! Non so come affrontare questo esercizio quindi gradirei qualche aiuto su come iniziare.

Se le funzioni $f(x)= \frac{3x+1}{2x+1}$, $g(x)= \frac{px+1}{2x-3}$ soddisfano la relazione $f(g(x)) = x$ con $(x \ne -1/2 , 3/2)$, quanto vale la costante $p$?

[axpgn]

Costruisci $f(g(x))$ ...

[TheBarbarios]

"axpgn":Costruisci $f(g(x))$ ...

Scusa per il post banale. Dovevo solo sostituire ma non so perché pensavo ci fosse qualche metodo alternativo per evitare i calcoli. Grazie comunque

[@melia]

C'è. Si tratta di una funzione omografica. Gli asintoti di $f(x)$ sono $x= -1/2$ e $y=3/2$, la sua funzione inversa $g(x)$ è ancora una funzione omografica con asintoti $y= -1/2$ e $x=3/2$, il secondo lo hai già, il primo richiede $p= -1$

[TheBarbarios]

Non ho ben capito i passaggi.

Io so che gli asintoti li trovo con $y= a/c$ e $x= - d/c$ e dato che in $f(x)$ essi sono $x=-1/2$ e $y= 3/2$ anche in $g(x)$ devono avere uguali coordinate ma con assi invertiti, e quindi si capisce subito che $p=1$.

Però perchè hanno gli asintoti scambiati con ugual valore?

[@melia]

perché l'inversa di una funzione scambia la x con la y.

[TheBarbarios]

E perchè sono inverse?

[@melia]

perché $f(g(x))=x$

[TheBarbarios]

Perdonami ma non capisco le conseguenze da quella scrittura...

[axpgn]

Se $f(a)=b$ allora l'inversa sarà quella che $f^(-1)(b)=a$ ovvero $f^(-1)(f(a))=a$ ...