Trova l'equazione dell'ellisse....
...tangente con una data retta in un dato punto...
ho questo problema il punto e A(4;1) e la retta 4x+5y=21 devo trovare l'equazione dell'ellisse.... non riesco proprio a capire come fare....non so da dove cominciare.... altro problema mi sorge quando ho il punto di intersezione l'equazione dell'ellisse ma devo trovare la retta.... metto a sistema l'equazione dell'ellisse con il fascio di rette in cui ho inserito il punto... da li dovrei trovarmi il coefficente angolare imponendo il delta ( o discriminante) uguale a zero, a quel punto pero sviluppando i quadrati mi esce fuori sempre M alla 4° non capisco come fare ... urge aiuto!! domani ho il compito e son messo veramente male!!
grazie
ho questo problema il punto e A(4;1) e la retta 4x+5y=21 devo trovare l'equazione dell'ellisse.... non riesco proprio a capire come fare....non so da dove cominciare.... altro problema mi sorge quando ho il punto di intersezione l'equazione dell'ellisse ma devo trovare la retta.... metto a sistema l'equazione dell'ellisse con il fascio di rette in cui ho inserito il punto... da li dovrei trovarmi il coefficente angolare imponendo il delta ( o discriminante) uguale a zero, a quel punto pero sviluppando i quadrati mi esce fuori sempre M alla 4° non capisco come fare ... urge aiuto!! domani ho il compito e son messo veramente male!!
grazie
Risposte
Supponendo che l'ellisse passi per A, si ha la relazione: 16/a² + 1/b² = 1
Ti chiedo ora: il punto P è anche il punto di tangenza tra ellisse e retta?
Se sì, il problema si semplifica molto...
Ti chiedo ora: il punto P è anche il punto di tangenza tra ellisse e retta?
Se sì, il problema si semplifica molto...
il testo del problema è questo:
la retta 4x+5y=21 è tangente in A(4;1) ad un'ellisse, scrivere l'equazione dell'ellisse.
la retta 4x+5y=21 è tangente in A(4;1) ad un'ellisse, scrivere l'equazione dell'ellisse.
Bastava vedere che le coordinate di A soddisfano
l'equazione della retta.
karl.
l'equazione della retta.
karl.
in questo modo ho solo verificato che A appartiene alla retta . Il mio problema è di trovare l'equazione dell'ellisse!
Io ho provato con la formula di sdoppiamento, ma il risultato ottenuto non è corretto.
L'unico modo per risolverlo è un sistema di due equazioni in due incognite.
Una delle due equazioni è 16/a² + 1/b² = 1 [1]
L'altra relazione si trova ponendo a sistema:
{x²/a² + y²/b² = 1
{4x + 5y = 21
e imponendo che sia DELTA = 0. Chiaramente
verrà un'equazione di quarto grado.
Quest'ultima deve essere messa a sistema con la [1].
L'unico modo per risolverlo è un sistema di due equazioni in due incognite.
Una delle due equazioni è 16/a² + 1/b² = 1 [1]
L'altra relazione si trova ponendo a sistema:
{x²/a² + y²/b² = 1
{4x + 5y = 21
e imponendo che sia DELTA = 0. Chiaramente
verrà un'equazione di quarto grado.
Quest'ultima deve essere messa a sistema con la [1].
*quote:
il testo del problema è questo:
la retta 4x+5y=21 è tangente in A(4;1) ad un'ellisse, scrivere l'equazione dell'ellisse. [bruno2000]
non capisco: mi pare che ce ne siano 999 di ellissi tangenti a una retta in un punto.
che vincoli si implicano per l'ellisse richiesta? (tipo: assi coincidenti con gli assi cartesiani, ...)
tony
Hey tony, tu hai postato questo messaggio alle 17:07:44...
Abbiamo postato contemporaneamente, tu qui e io in 'Generale'!!!
Abbiamo postato contemporaneamente, tu qui e io in 'Generale'!!!
Ti ringrazio molto, almeno mi hai dato qualcosa su cui lavorare. Purtroppo anche se il metodo da te suggerito mi sembra giusto, svolgendolo, non riesco a venire a capo del sistema di quarto grado! E non riuscendo a semplificare, dato che l'equazione dell'ellisse è di secondo grado, non trovo risultato!
Sia b
x+ay=ab
l'equazione dell'ellisse (scritta in forma intera).
Applicando la formula di sdoppiamento si ha:
4bx+ay=ab;affinche' tale equazione
coincida con quella data, deve essere:
4/(4b)=5/(a)=21/(ab) od anche:
4a=20b=84 da cui si ricava che:
a=21 e b=21/5.Pertanto l'equazione richiesta e':
x/21+y/(21/5)=1 oppure:
x+5y=21
Karl.
P.S.
Quando ho scritto che" bastava sostituire etc"
rispondeva a Fireball che chiedeva se A
fosse anche il punto di contatto e non mi riferivo
al calcolo della equazione dell'ellisse!!
Modificato da - karl il 31/05/2004 17:34:23
x+ay=ab l'equazione dell'ellisse (scritta in forma intera).
Applicando la formula di sdoppiamento si ha:
4b
x+ay=ab;affinche' tale equazionecoincida con quella data, deve essere:
4/(4b
)=5/(a)=21/(ab) od anche:4a
=20b=84 da cui si ricava che:a
=21 e b=21/5.Pertanto l'equazione richiesta e':x
/21+y/(21/5)=1 oppure:x
+5y=21Karl.
P.S.
Quando ho scritto che" bastava sostituire etc"
rispondeva a Fireball che chiedeva se A
fosse anche il punto di contatto e non mi riferivo
al calcolo della equazione dell'ellisse!!
Modificato da - karl il 31/05/2004 17:34:23
Trattasi di ellisse riferita al centro ed agli assi, cioè con assi sugli assi cartesiani...
Karl, ho fatto il solito errore di distrazione... Comunque
ok, l'equazione dell'ellisse è quella.
ok, l'equazione dell'ellisse è quella.
Karl 6 grande! Però io la formula di sdoppiamento non la conosco...Ma come funziona l'arcana fds?
Per La fds lascio rispondere a Fireball.
Ti ringrazio per l'apprezzamento ma non
credo di meritarlo troppo visto che si tratta
di ferri del mestiere.
karl.
Ti ringrazio per l'apprezzamento ma non
credo di meritarlo troppo visto che si tratta
di ferri del mestiere.
karl.
La formula di sdoppiamento si utilizza per conoscere l'equazione
della retta tangente a un'ellisse o un'iperbole in un punto
che appartenga alla conica. Conoscendo le coordinate del punto
di tangenza, si dimostra che l'equazione della retta tangente all'ellisse è
(x*x0)/a² + (y*y0)/b² = 1 dove x0 ed y0 sono rispettivamente
l'ascissa e l'ordinata del punto di tangenza.
In questo caso karl ha utilizzato la formula di sdoppiamento
per risalire, dall'equazione della retta tangente, all'equazione dell'ellisse.
Modificato da - fireball il 31/05/2004 17:59:02
della retta tangente a un'ellisse o un'iperbole in un punto
che appartenga alla conica. Conoscendo le coordinate del punto
di tangenza, si dimostra che l'equazione della retta tangente all'ellisse è
(x*x0)/a² + (y*y0)/b² = 1 dove x0 ed y0 sono rispettivamente
l'ascissa e l'ordinata del punto di tangenza.
In questo caso karl ha utilizzato la formula di sdoppiamento
per risalire, dall'equazione della retta tangente, all'equazione dell'ellisse.
Modificato da - fireball il 31/05/2004 17:59:02
Fireball grazie per la mitica fds, domani, se solo ne ho l'opportunità gliela piazzo al compito e la prof rimarrà basita! Grazie mille
Aspetta, aspetta! Meglio andarci cauti...
Se vuoi inserirla nel compito di domani, e la prof
non l'ha spiegata, specifica bene di che cosa si tratta
e non scrivere solo la formula!
Se vuoi inserirla nel compito di domani, e la prof
non l'ha spiegata, specifica bene di che cosa si tratta
e non scrivere solo la formula!
Fireball, io all'inizio pensavo di risolvere con il fascio di rette per il punto e poi imporre il discriminante uguale a zero... pero' con questo sistema che dovrei conoscere non sono venuto a capo di nulla...
Semmai un fascio di ellissi, non di rette!
La retta tangente e il punto di tangenza li conosci già!
Tu dovresti mettere a sistema questa retta con la generica
equazione dell'ellisse (che è per l'appunto x²/a² + y²/b² = 1
e rappresenta un fascio di ellissi) e poi fare come ti avevo detto
nel precedente post (delta = 0, etc...).
La retta tangente e il punto di tangenza li conosci già!
Tu dovresti mettere a sistema questa retta con la generica
equazione dell'ellisse (che è per l'appunto x²/a² + y²/b² = 1
e rappresenta un fascio di ellissi) e poi fare come ti avevo detto
nel precedente post (delta = 0, etc...).
mentre componevo sono arrivate mille risposte, ma aggiungo comunque la mia, forse un po' diversa.
se l'ellisse cercata ha assi cioincidenti con quelli cartesiani, azzarderei una
x^2 + 5*y^2 = 21
ci si arriva senza tanti calcoli analitici considerando che
[1] l'ellisse è la trasformaz. di un cerchio "schiacciato" di un opportuno coeff. k (disegnarla); l'intercetta col l'asse x non varia.
[2] la tang. all'ellisse è la stessa trasformaz. della tangente al cerchio (disegnarla); anche la sua intercetta B (21/5) con l'asse x non varia.
[3] devo "alzare" di k il punto P(4, 1) per ottenere sul cerchio un P' che appartenga alla circonferenza
[4] sarà 4:1*k = 1*k:B-4 (medio proporz. per la rettangolarità); cioè k=sqrt(5)
[5] il cerchio avrà r^2 = 4^2+(1*k)^2 = 21 (pitagora), con equaz. x^2+y^2=21
[6] "schiacciando" di k ho, per l'ellisse, x^2+5*y^2=21
la mia descriz. è assai rustica, ma il procedim. è di una facilità estrema, e richiede solo considerazioni elementari, senza nozione di fasci, senza intersezioni, senza formule di sdoppiamento.
tony
se l'ellisse cercata ha assi cioincidenti con quelli cartesiani, azzarderei una
x^2 + 5*y^2 = 21
ci si arriva senza tanti calcoli analitici considerando che
[1] l'ellisse è la trasformaz. di un cerchio "schiacciato" di un opportuno coeff. k (disegnarla); l'intercetta col l'asse x non varia.
[2] la tang. all'ellisse è la stessa trasformaz. della tangente al cerchio (disegnarla); anche la sua intercetta B (21/5) con l'asse x non varia.
[3] devo "alzare" di k il punto P(4, 1) per ottenere sul cerchio un P' che appartenga alla circonferenza
[4] sarà 4:1*k = 1*k:B-4 (medio proporz. per la rettangolarità); cioè k=sqrt(5)
[5] il cerchio avrà r^2 = 4^2+(1*k)^2 = 21 (pitagora), con equaz. x^2+y^2=21
[6] "schiacciando" di k ho, per l'ellisse, x^2+5*y^2=21
la mia descriz. è assai rustica, ma il procedim. è di una facilità estrema, e richiede solo considerazioni elementari, senza nozione di fasci, senza intersezioni, senza formule di sdoppiamento.
tony
ecco un disegno di quanto descrivevo:
vedo che è andato a pagina nuova;
lo ingloberò nel msg cui si riferisce
tony
*Edited by - tony on 01/06/2004 06:08:18
vedo che è andato a pagina nuova;
lo ingloberò nel msg cui si riferisce
tony
*Edited by - tony on 01/06/2004 06:08:18
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