Tronco di piramide a base quadrata
L'esercizio incriminato:
"In un tronco di piramide a basi quadrate, la somma dei perimetri delle basi è $64 m$ e la somma delle loro aree è $160 m^2$. Il volume del solido è di $1664 sqrt(7)/3 m^3$. Calcola l'area della superficie totale.".
Ho messo a sistema le due somme presenti nei dati, ricavandomi i due perimetri di base e, di conseguenza, i lati dei quadrati di base $AB=12$ ed $EF=4$.
Presa poi la formula per trovare il Volume del tronco di piramide, ho posto $h$ come incognita (tutti gli altri valori li ho) e l'ho ricavata come $h= 8sqrt(7) cm$.
Per trovare l'area della superficie totale basta sommare le aree di base, che evidentemente ho, e la superficie laterale.
Il problema sta nel trovare l'apotema del tronco.
Ho pensato che, essendo un trapezio isoscele, bastava trovarne l'altezza; ma non ci riesco perchè mi manca un dato (il lato obliquo).
Ho notato che il risultato del testo è $160+128sqrt(29) m^2$ dove $160$ è la somma delle due aree di base e il resto la superficie laterale; oltretutto, quello $sqrt(29)$ non mi torna proprio (anche se mi basterebbe si trovasse il valore decimale, l'importante è la correttezza del risultato.)
Grazie anticipatamente.
"In un tronco di piramide a basi quadrate, la somma dei perimetri delle basi è $64 m$ e la somma delle loro aree è $160 m^2$. Il volume del solido è di $1664 sqrt(7)/3 m^3$. Calcola l'area della superficie totale.".
Ho messo a sistema le due somme presenti nei dati, ricavandomi i due perimetri di base e, di conseguenza, i lati dei quadrati di base $AB=12$ ed $EF=4$.
Presa poi la formula per trovare il Volume del tronco di piramide, ho posto $h$ come incognita (tutti gli altri valori li ho) e l'ho ricavata come $h= 8sqrt(7) cm$.
Per trovare l'area della superficie totale basta sommare le aree di base, che evidentemente ho, e la superficie laterale.
Il problema sta nel trovare l'apotema del tronco.
Ho pensato che, essendo un trapezio isoscele, bastava trovarne l'altezza; ma non ci riesco perchè mi manca un dato (il lato obliquo).
Ho notato che il risultato del testo è $160+128sqrt(29) m^2$ dove $160$ è la somma delle due aree di base e il resto la superficie laterale; oltretutto, quello $sqrt(29)$ non mi torna proprio (anche se mi basterebbe si trovasse il valore decimale, l'importante è la correttezza del risultato.)
Grazie anticipatamente.
Risposte
immagino che si tratti di un tronco retto, per cui, se consideri la proiezione della base minore sulla base maggiore, il segmento che unisce i corrispondenti vertici dei due quadrati (spero sia chiara la descrizione) è $8sqrt2$, perché è la diagonale di un quadrato avente lato pari alla differenza dei lati delle due basi.
questo ti permettere di trovare il lato obliquo di una faccia della superficie laterale, che è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti l'altezza del tronco di piramide e questo segmento. in base al lato obliquo, l'altezza del trapezio isoscele è facile calcolarla.
spero di essere stata chiara. ciao.
questo ti permettere di trovare il lato obliquo di una faccia della superficie laterale, che è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti l'altezza del tronco di piramide e questo segmento. in base al lato obliquo, l'altezza del trapezio isoscele è facile calcolarla.
spero di essere stata chiara. ciao.
Grazie adaBBTLS, sei stata molto chiara. Ho seguito il ragionamento (il mio errore era che non consideravo l'altezza del tronco in posizione diversa da quella che unisce il centro delle basi) e secondo i calcoli corrispondenti la superficie laterale corrisponde a $128sqrt(35)$ mentre per il testo è $sqrt(29)$ . Eppure non mi pare di aver fatto errori di calcolo... è un refuso?
Hai frainteso il suggerimento di adaBBTLS: quando si parla di un tronco di piramide retto si intende proprio che la sua altezza è quella che unisce il centro delle basi. Provo a darti un suggerimenti diverso: detti H e K i centri delle basi e L e M le loro proiezioni sui lati (quelli di una stessa faccia laterale del tronco), HLMK è un trapezio rettangolo di cui conosci le basi (uguali a metà lato dei quadrati) e l'altezzo (quella del tronco); è quindi facile calcolare il lato obliquo LM, che è l'apotema e che risulta $4 \sqrt(29)$
Grazie giammaria, ma mi chiedo: perchè è sbagliato questo procedimento (che ora ti espongo) e che ho utilizzato fraintendendo ada?
Scusa se prendo il procedimento un po' alla lontana.
Dico io: per trovare la superficie laterale è ovvio che dobbiamo trovare l'apotema. In questo caso l'apotema è l'altezza del trapezio isoscele che costituisce una faccia laterale; di conseguenza, basta trovare la distanza tra le due basi del trapezio per trovare la sua altezza e, quindi, l'apotema.
D'accordo che l'altezza di un tronco di piramide a base quadrata è il segmento che unisce i centri delle basi; però se prendiamo il segmento $EK$ perpendicolare alla base maggiore del tronco e condotto da uno dei vertici del quadrato, non abbiamo comunque un segmento uguale all'altezza?
Se è così, allora troviamo il lato obliquo del trapezio sulla faccia laterale: $EA=sqrt(AK^2+EK^2)$ ossia $24 m$ dove $AK$ è $8sqrt(2)$ . Da qui considero il trapezio isoscele, trovando l'apotema $EH=sqrt(576-16)=4sqrt(35)$ con Pitagora.
Fermo restando che è il tuo ragionamento quello giusto, l'errore sta nel considerare l'altezza condotta da un vertice del quadrato? Oppure dove?
Scusa se prendo il procedimento un po' alla lontana.
Dico io: per trovare la superficie laterale è ovvio che dobbiamo trovare l'apotema. In questo caso l'apotema è l'altezza del trapezio isoscele che costituisce una faccia laterale; di conseguenza, basta trovare la distanza tra le due basi del trapezio per trovare la sua altezza e, quindi, l'apotema.
D'accordo che l'altezza di un tronco di piramide a base quadrata è il segmento che unisce i centri delle basi; però se prendiamo il segmento $EK$ perpendicolare alla base maggiore del tronco e condotto da uno dei vertici del quadrato, non abbiamo comunque un segmento uguale all'altezza?
Se è così, allora troviamo il lato obliquo del trapezio sulla faccia laterale: $EA=sqrt(AK^2+EK^2)$ ossia $24 m$ dove $AK$ è $8sqrt(2)$ . Da qui considero il trapezio isoscele, trovando l'apotema $EH=sqrt(576-16)=4sqrt(35)$ con Pitagora.
Fermo restando che è il tuo ragionamento quello giusto, l'errore sta nel considerare l'altezza condotta da un vertice del quadrato? Oppure dove?
AK è la semidifferenza delle diagonali dei quadrati, quindi vale $4 \sqrt 2$: hai dimenticato di dividere per 2 o forse hai pensato che il trapezio AEGD fosse rettangolo (le basi del tronco sono ABCD e EFGI), mentre è isoscele. Il resto del ragionamento mi pare giusto, ma non l'ho controllato a fondo.
Colgo l'occasione per ricordarti che se il tronco non fosse retto ogni faccia avrebbe un apotema diverso dalle altre e quindi non varrebbe più la formula con i perimetri.
Colgo l'occasione per ricordarti che se il tronco non fosse retto ogni faccia avrebbe un apotema diverso dalle altre e quindi non varrebbe più la formula con i perimetri.
l'interpretazione è corretta.
sono io che ho dimenticato di dividere per 2, e tu ti sei fidato. prova a vedere se con $AK=4sqrt2$ e con lo stesso ragionamento il risultato viene.
sono io che ho dimenticato di dividere per 2, e tu ti sei fidato. prova a vedere se con $AK=4sqrt2$ e con lo stesso ragionamento il risultato viene.
scusate l'intrusione, mi chiedevo perchè trovare il lato obliquo per poi trovare l'altezza del trapezio? Per trovarla è non è sufficiente applicare pitagora all'altezza del solido e alla semidifferenza dei lati delle basi?
Rileggi il mio primo intervento: è proprio quello che ho suggerito.
Ho saltato una risposta...pardon...! 
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