Trinomio notevole e divisione
Salve, mi ricordo che c'era un metodo per scomporre un trinomio con coefficiente della $x^2$ maggiore di 1 senza usare la regola di Ruffini, potreste dirmi come si chiama o come si applica?
Perchè nella divisione normale di polinomi bisogna dividere il dividendo solo per il primo termine del divisore e non per tutti e due?
Con ruffini è possibile dividere questo polinomio? $(-7x^4-3x^7+7):(5x-3)$
Quando una divisione viene per esempio $2x+3$ con il resto di 4, non è lo stesso scrivere $2x+3+4=2x+7$ ?
Grazie!
Perchè nella divisione normale di polinomi bisogna dividere il dividendo solo per il primo termine del divisore e non per tutti e due?
Con ruffini è possibile dividere questo polinomio? $(-7x^4-3x^7+7):(5x-3)$
Quando una divisione viene per esempio $2x+3$ con il resto di 4, non è lo stesso scrivere $2x+3+4=2x+7$ ?
Grazie!
Risposte
1)Intendi un trinomio del tipo [tex]ax^2+bx+c[/tex]? Se è questo ti faccio un esempio pratico: [tex]x^6+26x^3-27[/tex], per scomporlo dobbiamo trovare due numeri [tex]m[/tex] ed [tex]n[/tex] tali che [tex]m\cdot{n}[/tex] sia uguale al prodotto di [tex]-27\cdot 1[/tex] cioè del termine noto e del coefficiente di [tex]x^6[/tex] e che [tex]m+n[/tex] sia il coefficiente di [tex]x^3[/tex] e cioè 26. In pratica risolvere questo sistema
[tex]\left\{\begin{matrix}m+n=26 \\ m\cdot{n}=-27\end{matrix}\right[/tex].
Ottenendo quindi [tex]n=-1[/tex] ed [tex]m=27[/tex].
Fatto ciò scomponiamo [tex]x^6+27x^3-1x^3-27[/tex], raccogliamo parzialmente ottenendo [tex]x^3(x^3-1)+27(x^3-1)[/tex], adesso raccoglimento a fattor comune totale [tex]=>[/tex] [tex](x^3-1)(x^3-27)[/tex].
2) La divisione [tex](-7x^4-3x^7+7):(5x-3)[/tex] si può fare ma devi applicare la proprietà invariantiva al dividendo e divisore perchè per poter applicare ruffini il divisore deve essere del tipo [tex]x-1[/tex].
3) Il quoziente và prima moltiplicato per il divisore e poi si aggiunge il resto, quindi non è corretto.
[tex]\left\{\begin{matrix}m+n=26 \\ m\cdot{n}=-27\end{matrix}\right[/tex].
Ottenendo quindi [tex]n=-1[/tex] ed [tex]m=27[/tex].
Fatto ciò scomponiamo [tex]x^6+27x^3-1x^3-27[/tex], raccogliamo parzialmente ottenendo [tex]x^3(x^3-1)+27(x^3-1)[/tex], adesso raccoglimento a fattor comune totale [tex]=>[/tex] [tex](x^3-1)(x^3-27)[/tex].
2) La divisione [tex](-7x^4-3x^7+7):(5x-3)[/tex] si può fare ma devi applicare la proprietà invariantiva al dividendo e divisore perchè per poter applicare ruffini il divisore deve essere del tipo [tex]x-1[/tex].
3) Il quoziente và prima moltiplicato per il divisore e poi si aggiunge il resto, quindi non è corretto.
cambia qualcosa se nel trinomio il coefficiente della x di grado più alto è maggiore di 1?
come faccio diventare il divisore $x-1$ ?
grazie
come faccio diventare il divisore $x-1$ ?
grazie
Vuoi scomporre un trinomio del tipo $6x^2+x-2$?
Devi trovare due numeri, $h$ e $k$ la cui somma sia il coefficiente del termine di primo grado, in questo caso $h+k=1$, e il cui prodotto sia dato dal prodotto del termine noto per il coefficiente del termine di secondo grado, in questo caso $h*k=6*(-2)=-12$
Si parte cercando le coppie che hanno come prodotto $-12$, che sono $(-1, 12)$, $(-2, 6)$, $(-3,4)$, $(-4,3)$, $(-6,2)$, $(-12,1)$. Tra tutte queste coppie l'unica che ha come somma 1 e $(-3,4)$, allora il termine di primo grado $x$ va scritto come $-3x+4x$, in questo modo il trinomio diventa
$6x^2+x-2=6x^2-3x+4x-2=$ adesso devi fare il raccoglimento a fattor parziale tra i primi due termini e tra gli ultimi 2
$3x(2x-1)+2(2x-1)=(2x-1)(3x+2)$ e la scomposizione è completata, se non vuoi seguire tutto il procedimento puoi sempre usare Ruffini.
Per la divisione, come ha detto giannirecanati, devi applicare la proprietà invariantiva, cioè dividere dividendo e divisore per il coefficiente della x, in modo che il polinomio divisore diventi del tipo $x-a$, in questo modo il quoziente viene giusto, ma per ottere correttamente anche il resto lo devi rimoltiplicare per il fattore per cui hai diviso. Ti faccio un esempio:
$(6x^3-2x+9):(2x+3)$ devi dividere per $2$ tutti i termini del dividendo e tutti quelli del divisore, la divisione diventa $(3x^3-x+9/2) : (x+3/2)$ adesso esegui tranquillamente la divisione con Ruffini, ottieni come quoziente $Q(x)=3x^2-9/2x+23/4$, che va bene così com'è, mentre il resto va rimoltiplicato per $2$, $R(x)=2*(-33/8)=-33/4$
Devi trovare due numeri, $h$ e $k$ la cui somma sia il coefficiente del termine di primo grado, in questo caso $h+k=1$, e il cui prodotto sia dato dal prodotto del termine noto per il coefficiente del termine di secondo grado, in questo caso $h*k=6*(-2)=-12$
Si parte cercando le coppie che hanno come prodotto $-12$, che sono $(-1, 12)$, $(-2, 6)$, $(-3,4)$, $(-4,3)$, $(-6,2)$, $(-12,1)$. Tra tutte queste coppie l'unica che ha come somma 1 e $(-3,4)$, allora il termine di primo grado $x$ va scritto come $-3x+4x$, in questo modo il trinomio diventa
$6x^2+x-2=6x^2-3x+4x-2=$ adesso devi fare il raccoglimento a fattor parziale tra i primi due termini e tra gli ultimi 2
$3x(2x-1)+2(2x-1)=(2x-1)(3x+2)$ e la scomposizione è completata, se non vuoi seguire tutto il procedimento puoi sempre usare Ruffini.
Per la divisione, come ha detto giannirecanati, devi applicare la proprietà invariantiva, cioè dividere dividendo e divisore per il coefficiente della x, in modo che il polinomio divisore diventi del tipo $x-a$, in questo modo il quoziente viene giusto, ma per ottere correttamente anche il resto lo devi rimoltiplicare per il fattore per cui hai diviso. Ti faccio un esempio:
$(6x^3-2x+9):(2x+3)$ devi dividere per $2$ tutti i termini del dividendo e tutti quelli del divisore, la divisione diventa $(3x^3-x+9/2) : (x+3/2)$ adesso esegui tranquillamente la divisione con Ruffini, ottieni come quoziente $Q(x)=3x^2-9/2x+23/4$, che va bene così com'è, mentre il resto va rimoltiplicato per $2$, $R(x)=2*(-33/8)=-33/4$
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