Trigonometria, un dubbio
Ciao a tutti!
In questi giorni ho fatto una full immersion nella matematica perchè domani devo sostenere il test di ammissione alla facoltà di fisica della mia città, e mi è venuto un dubbio che mi rovina parecchio lo svolgimento degli esercizi di trigonometria.
In un triangolo rettangolo qualsiasi che differenza c'è tra la misura del cateto maggiore ed il seno dell'angolo adiacente?
Mi spiego meglio, se il triangolo avesse il vertice nell'origine degli assi e cateto maggiore coincidente con l'origine degli archi quel cateto non sarebbe uguale al seno dell'angolo con vertice in O??
Una risposta l'ho provata ad immaginare:
Il seno si riferisce sempre alla circonferenza goniometrica, quindi non sarà mai maggiore di 1, mentre il cateto lo può essere. È così?
Fatemi sapere al più presto per favore!
grazie in anticipo
In questi giorni ho fatto una full immersion nella matematica perchè domani devo sostenere il test di ammissione alla facoltà di fisica della mia città, e mi è venuto un dubbio che mi rovina parecchio lo svolgimento degli esercizi di trigonometria.
In un triangolo rettangolo qualsiasi che differenza c'è tra la misura del cateto maggiore ed il seno dell'angolo adiacente?
Mi spiego meglio, se il triangolo avesse il vertice nell'origine degli assi e cateto maggiore coincidente con l'origine degli archi quel cateto non sarebbe uguale al seno dell'angolo con vertice in O??
Una risposta l'ho provata ad immaginare:
Il seno si riferisce sempre alla circonferenza goniometrica, quindi non sarà mai maggiore di 1, mentre il cateto lo può essere. È così?
Fatemi sapere al più presto per favore!
grazie in anticipo
Risposte
Se hai un triangolo OAB, rettangolo in A, con AO sull'asse delle x, e $hat(AOB) = alpha$.
Indicando con P l'intersezione di OB con la circonferenza goniometrica e con H la sua proiezione sull'asse x, i triangoli OHP e OAB sono simili, ovvero hanno i lati in proporzione, quindi puoi scrivere $PH : BA = OP : OB$.
Sostituendo $sin alpha : BA = 1 : OB$, da cui $BA = OB sin alpha$ che è il primo teorema sui triangoli rettangoli.
Spero di aver centrato la richiesta, la tua domanda è un po' sibillina.
Indicando con P l'intersezione di OB con la circonferenza goniometrica e con H la sua proiezione sull'asse x, i triangoli OHP e OAB sono simili, ovvero hanno i lati in proporzione, quindi puoi scrivere $PH : BA = OP : OB$.
Sostituendo $sin alpha : BA = 1 : OB$, da cui $BA = OB sin alpha$ che è il primo teorema sui triangoli rettangoli.
Spero di aver centrato la richiesta, la tua domanda è un po' sibillina.
Da un altro punto di vista ...
Dato un triangolo rettangolo e detto $alpha$ uno dei suoi angoli acuti, chiamiamo $opp$ il cateto opposto all'angolo, chiamiamo $adj$ il cateto adiacente all'angolo e chiamiamo $hip$ l'ipotenusa allora il seno dell'angolo $alpha$ sarà pari al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, in simboli $sinalpha=(opp)/(hip)$; il coseno dell'angolo $alpha$ sarà pari al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa cioè $cosalpha=(adj)/(hip)$ e la tangente dell'angolo $alpha$ sarà pari al rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente cioè $tanalpha=(sinalpha)/(cosalpha)=(opp)/(hip)*(hip)/(adj)=(opp)/(adj)$
Cordialmente, Alex
Dato un triangolo rettangolo e detto $alpha$ uno dei suoi angoli acuti, chiamiamo $opp$ il cateto opposto all'angolo, chiamiamo $adj$ il cateto adiacente all'angolo e chiamiamo $hip$ l'ipotenusa allora il seno dell'angolo $alpha$ sarà pari al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, in simboli $sinalpha=(opp)/(hip)$; il coseno dell'angolo $alpha$ sarà pari al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa cioè $cosalpha=(adj)/(hip)$ e la tangente dell'angolo $alpha$ sarà pari al rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente cioè $tanalpha=(sinalpha)/(cosalpha)=(opp)/(hip)*(hip)/(adj)=(opp)/(adj)$
Cordialmente, Alex
la mia domanda si esprime meglio così probabilmente!
Consideriamo il triangolo da te descritto. Allora:
$ sin\alpha=1 $ ?'
E questo accade per tutti i problemi di trigonometria? (la risposta è sì, se ho ben capito)
Comunque grazie mille, ora che l'ho capito mi sembra anche abbastanza logico
Consideriamo il triangolo da te descritto. Allora:
$ sin\alpha
E questo accade per tutti i problemi di trigonometria? (la risposta è sì, se ho ben capito)
Comunque grazie mille, ora che l'ho capito mi sembra anche abbastanza logico
Sinceramente non capisco il tuo dubbio ...
Quello che scrivi è ovvio perché essendo il seno sempre minore o uguale a uno se prendi in considerazione una quantità maggiore di uno questa quantità sarà sempre maggiore del seno (peraltro non è vero il contrario ...)
Cordialmente, Alex
Quello che scrivi è ovvio perché essendo il seno sempre minore o uguale a uno se prendi in considerazione una quantità maggiore di uno questa quantità sarà sempre maggiore del seno (peraltro non è vero il contrario ...)
Cordialmente, Alex
Lo so, era un dubbio stupido, ma non riuscivo a togliermi dalla testa che magari per qualche oscura ragione la circonferenza goniometrica potesse adattarsi ad un r=15 magari, e quindi modificare anche il seno.
Il vero problema è che io in cinque anni di matematica non ho fatto praticamente nulla (per pigrizia, più che altro), e sebbene mi riesca abbastanza bene ci sono tante cose di cui non so bene le regole e quindi mi vengono questi dubbi sui dogmi della matematica (come "il seno deve essere sempre minore o uguale a 1"(?), probabilmente mettendo un punto di domanda a quella frase e usandola come titolo del topic mi avreste capito al primo colpo. scusate tendo a complicarmi la vita).
Chiedo di nuovo scusa per la mia ignoranza, la matematica è un mondo quasi nuovo per me, quindi ho ancora tante cose da scoprire!
Il vero problema è che io in cinque anni di matematica non ho fatto praticamente nulla (per pigrizia, più che altro), e sebbene mi riesca abbastanza bene ci sono tante cose di cui non so bene le regole e quindi mi vengono questi dubbi sui dogmi della matematica (come "il seno deve essere sempre minore o uguale a 1"(?), probabilmente mettendo un punto di domanda a quella frase e usandola come titolo del topic mi avreste capito al primo colpo. scusate tendo a complicarmi la vita).
Chiedo di nuovo scusa per la mia ignoranza, la matematica è un mondo quasi nuovo per me, quindi ho ancora tante cose da scoprire!
La questione è che questo non è un dogma (e nemmeno una regola, nel senso di "qualcosa di imposto") ma una conseguenza della definizione stessa del seno; in pratica, detto grossolanamente, il seno non può mai essere maggiore di uno perché è il rapporto tra un "pezzo" di raggio e il raggio stesso (qualunque sia la circonferenza): una parte di "qualcosa" non sarà mai più grande di quel "qualcosa" ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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