Trigonometria: Dubbio su una domanda di un test
Quale delle seguenti relazioni è corretta?
a) $\sin 2 < \sin 3$
b) $\sin 1 > \sin 10$
c) $\tan 2 = 2 \tan 1$
d) $\cos^2 100 > \cos 6$
Quello che mi chiedo è come considerare questi numeri. Per 2 o 3 si intende gradi o radianti?
Ho pensato di procedere nel seguente modo, approssimando $\sin 2$ e $\sin 3$ con $\sin \frac{2}{3}\pi < \sin(\pi)$ e così via.
In questo caso la risposta sarebbe la b) ma non so se il procedimento e l'approssimazione siano giuste.
a) $\sin 2 < \sin 3$
b) $\sin 1 > \sin 10$
c) $\tan 2 = 2 \tan 1$
d) $\cos^2 100 > \cos 6$
Quello che mi chiedo è come considerare questi numeri. Per 2 o 3 si intende gradi o radianti?
Ho pensato di procedere nel seguente modo, approssimando $\sin 2$ e $\sin 3$ con $\sin \frac{2}{3}\pi < \sin(\pi)$ e così via.
In questo caso la risposta sarebbe la b) ma non so se il procedimento e l'approssimazione siano giuste.
Risposte
Se fossero gradi la risposta sarebbe a) perché nel primo quadrante il seno è crescente.
Se fossero radianti la risposta sarebbe b) perché un radiante sta nel secondo quadrante (quindi seno positivo), 10 radianti sono poco più di un giro e mezzo, quindi sta nel terzo quadrante con seno negativo.
Le altre due risposte sono false sia in gradi che in radianti.
Se fossero radianti la risposta sarebbe b) perché un radiante sta nel secondo quadrante (quindi seno positivo), 10 radianti sono poco più di un giro e mezzo, quindi sta nel terzo quadrante con seno negativo.
Le altre due risposte sono false sia in gradi che in radianti.
Solitamente quando non c'è un $pi$ sparso è in gradi.
Comunque in generale, devi tenere conto della monotonia e del segno delle funzioni goniometriche.
a) $sin2
Questa è vera. La funzione $sinx$ con $0
$sin2 2<3$ il che è vero.
b) $sin1>sin10$
Questa è falsa. Per lo stesso discorso di prima.
c) $tan2=2tan1$
$tan2=(2tan1)/(1-tan^2 1)(ne2tan1)$ palesemente falsa.
d) $cos^2 100>cos6$
questa basta scomporla un poco:
$cos^2 100=1/2[cos(200+1]$
$1/2[cos(180+20)+1]=(1-cos20)/2$ si ottiene $sin^2 10$ e ritorniamo alla disequazione
$(sin10)^2>cos6$ è falsa.
Considera che nel primo quadrante sono uguali solo quando l'angolo è $45°$ se l'angolo è $0°
$0 0 0
quindi quadrando il seno si ottiene un numero sempre più piccolo. Siccome si ha:
$sin^2 10
Comunque in generale, devi tenere conto della monotonia e del segno delle funzioni goniometriche.
a) $sin2
Questa è vera. La funzione $sinx$ con $0
$sin2
b) $sin1>sin10$
Questa è falsa. Per lo stesso discorso di prima.
c) $tan2=2tan1$
$tan2=(2tan1)/(1-tan^2 1)(ne2tan1)$ palesemente falsa.
d) $cos^2 100>cos6$
questa basta scomporla un poco:
$cos^2 100=1/2[cos(200+1]$
$1/2[cos(180+20)+1]=(1-cos20)/2$ si ottiene $sin^2 10$ e ritorniamo alla disequazione
$(sin10)^2>cos6$ è falsa.
Considera che nel primo quadrante sono uguali solo quando l'angolo è $45°$ se l'angolo è $0°
$0
quindi quadrando il seno si ottiene un numero sempre più piccolo. Siccome si ha:
$sin^2 10
La risposta del libro è la b). Quindi poiché non si specifica nella domanda se la misura è espressa in gradi o radianti la risposta poteva essere o la a) o la b).
Il ragionamento in radianti è pressoché identico.
Infatti la a diventerebbe falsa, poiché nel secondo quadrante la funzione seno è sempre iniettiva(considerando solo quel quadrante obv), però decrescente.
$sin2 2>3$ ovvero no.
la b è immediata infatti $sin10$ è negativo poiché $10$ radianti appartengono al $3°$ quadrante ed il seno sarebbe negativo.
quindi vale a dire 'una quantità positiva è maggiore di una negativa?' vero.
la c rimane identica.
Infatti la a diventerebbe falsa, poiché nel secondo quadrante la funzione seno è sempre iniettiva(considerando solo quel quadrante obv), però decrescente.
$sin2
la b è immediata infatti $sin10$ è negativo poiché $10$ radianti appartengono al $3°$ quadrante ed il seno sarebbe negativo.
quindi vale a dire 'una quantità positiva è maggiore di una negativa?' vero.
la c rimane identica.
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