Trigonometria-dubbi
Dunque domani ho un compito di trigonometria e ripassando mi sono venuti alcuni dubbi:
Quando ho una disequazione ad esempio (2 sen^2-senx >0 )
io risolvo il tutto con :
sen (2 senx -1)>0
1a parte : senx>0
2a parte : 2senx-1>0 -> 2senx>-1 -> senx>-1/2
risolvo la disequazione tramite il grafico e trovo
x>1/2
e x>0 -perchè nel grafico vedo che sono positivi la parte con lo zero e la parte con il 1/2 -
poi lo risolvo ancora con il grafico ma riportando i valori su una circonferenza goniometrica.
Avendo 0 e 1/2 che corrispondono a
per lo 0 : 0°,180° e 360°
e per 1/2 : 30°
sulla circonferenza li metto tutti e due o solo uno?E se ne dovessi mettere solo uno quale?
Quando ho una disequazione con la frazione ad esempio
devo analizzare i membri tutti con il segno positivo?
tipo
4 cos^2 x -3>0
2 senx-1>0
e poi risolvo sul grafico e analizzo solo i segni positivi?
E se invece avessi
2 senx-1>0
e poi sul grafico analizzo solo i segni negativi vero?!?
Altro dubbio
il mio professore di matematica ha risolto una disequazione in questo modo
2 cos^2 x +3 cosx+1>0
cosx=
Ora lui ha eliminato cos x
Quando ho una disequazione ad esempio (2 sen^2-senx >0 )
io risolvo il tutto con :
sen (2 senx -1)>0
1a parte : senx>0
2a parte : 2senx-1>0 -> 2senx>-1 -> senx>-1/2
risolvo la disequazione tramite il grafico e trovo
x>1/2
e x>0 -perchè nel grafico vedo che sono positivi la parte con lo zero e la parte con il 1/2 -
poi lo risolvo ancora con il grafico ma riportando i valori su una circonferenza goniometrica.
Avendo 0 e 1/2 che corrispondono a
per lo 0 : 0°,180° e 360°
e per 1/2 : 30°
sulla circonferenza li metto tutti e due o solo uno?E se ne dovessi mettere solo uno quale?
Quando ho una disequazione con la frazione ad esempio
[math]\frac{4 cos^2 x -3}{2 senx-1}[/math]
>0 devo analizzare i membri tutti con il segno positivo?
tipo
4 cos^2 x -3>0
2 senx-1>0
e poi risolvo sul grafico e analizzo solo i segni positivi?
E se invece avessi
[math]\frac{4 cos^2 x -3}{2 senx-1}[/math]
02 senx-1>0
e poi sul grafico analizzo solo i segni negativi vero?!?
Altro dubbio
il mio professore di matematica ha risolto una disequazione in questo modo
2 cos^2 x +3 cosx+1>0
cosx=
[math]\frac{3 +/- 1 }{4}[/math]
= 2 soluzioni ->[math]\frac{-1}{2}[/math]
e -1Ora lui ha eliminato cos x
Risposte
Prima domanda:
Se hai
studio fattore per fattore:
Qui devi guardare sulla circonferenza goniometrica, quando il seno e' maggiore di 0 (ovvero i valori degli angoli che hanno il seno positivo)
Vedrai che
Secondo fattore:
Anche qui, noti che il seno e' 1/2 per
A questo punto studi i segni (su una retta va benissimo, da 0 a 2pigreco, tanto la funzione seno e' periodica 2pigreco)
0--------pi/3-------pi-------2/3pi----------2pi
|+++++++++++++|--------------------------|
----------|++++++++++++|-----------------|
E dunque la soluzione finale (dovevamo prendere i valori maggiori di zero (positivi))
Dal momento che il "primo pezzo" di soluzione non ha riscontro, questa e' anche la soluzione generale della disequazione.
Quinta domanda: Dal momento che -1/2 e' un valore compreso tra -1 e 1, allora esistono sicuramente due angoli che hanno come coseno -1/2.
Se nella tabella non c'e':
se e' un valore che non conosci, usi la calcolatrice e trovi l'angolo associato: attenzione che la calcolatrice ti da' SEMPRE un solo angolo! Ma per ogni valore di seno o coseno (esclusi i valori -1 e 1) esistono sempre DUE ANGOLI.
Stara' a te segnarti il seno sull'asse y e tracciare la perpendicolare all'asse y (ovvero la parallela all'asse x) passante per quel valore del seno, e trovare i punti di intersezione con la circonferenza (che corrispondono ai due angoli).
Per il coseno, segnerai sull'asse x il valore, e traccerai la perpendicolare all'asse x (ovvero la parallela all'asse y) e troverai i due punti di intersezione.
Nel caso cosx=-1/2, segni -1/2 sull'asse x (e' un coseno), tracci la perpendicolare all'asse x e noti che la circonferenza viene intersecata in due punti, che sono "speculari" rispetto all'asse y agli angoli aventi coseno x = 1/2.
Infatti sono
Fine (ammazza che risposta lunga!)
Se hai
[math] \sin x ( 2 \sin x -1) >0 [/math]
studio fattore per fattore:
[math] \sin x > 0 [/math]
Qui devi guardare sulla circonferenza goniometrica, quando il seno e' maggiore di 0 (ovvero i valori degli angoli che hanno il seno positivo)
Vedrai che
[math] \sin x > 0 \to 0 < x < \pi [/math]
Secondo fattore:
[math] \sin x > \frac12 [/math]
Anche qui, noti che il seno e' 1/2 per
[math] x= \frac{ \pi}{3} \ e \ x= \frac23 \pi [/math]
e che il seno e' positivo per i valori della circonferenza compresi tra questi due angoli, ovvero [math] \frac{ \pi}{3} < x < \frac23 \pi [/math]
A questo punto studi i segni (su una retta va benissimo, da 0 a 2pigreco, tanto la funzione seno e' periodica 2pigreco)
0--------pi/3-------pi-------2/3pi----------2pi
|+++++++++++++|--------------------------|
----------|++++++++++++|-----------------|
E dunque la soluzione finale (dovevamo prendere i valori maggiori di zero (positivi))
[math] \frac{\pi}{3}-1/2
(ricordati: per il seno, devi studiare i valori sull'asse y, il coseno sull'asse x)
E pertanto hanno coseno maggiore di -1/2:
[math] 0 < x < \frac23 \pi \ U \ \frac43 \pi < x < 2 \pi [/math]
(ricordati: per il seno, devi studiare i valori sull'asse y, il coseno sull'asse x)
E pertanto hanno coseno maggiore di -1/2:
[math] 0 < x < \frac23 \pi \ U \ \frac43 \pi < x < 2 \pi [/math]
Dal momento che il "primo pezzo" di soluzione non ha riscontro, questa e' anche la soluzione generale della disequazione.
Quinta domanda: Dal momento che -1/2 e' un valore compreso tra -1 e 1, allora esistono sicuramente due angoli che hanno come coseno -1/2.
Se nella tabella non c'e':
se e' un valore che non conosci, usi la calcolatrice e trovi l'angolo associato: attenzione che la calcolatrice ti da' SEMPRE un solo angolo! Ma per ogni valore di seno o coseno (esclusi i valori -1 e 1) esistono sempre DUE ANGOLI.
Stara' a te segnarti il seno sull'asse y e tracciare la perpendicolare all'asse y (ovvero la parallela all'asse x) passante per quel valore del seno, e trovare i punti di intersezione con la circonferenza (che corrispondono ai due angoli).
Per il coseno, segnerai sull'asse x il valore, e traccerai la perpendicolare all'asse x (ovvero la parallela all'asse y) e troverai i due punti di intersezione.
Nel caso cosx=-1/2, segni -1/2 sull'asse x (e' un coseno), tracci la perpendicolare all'asse x e noti che la circonferenza viene intersecata in due punti, che sono "speculari" rispetto all'asse y agli angoli aventi coseno x = 1/2.
Infatti sono
[math] x= \frac23 \pi [/math]
e [math] x= \frac43 \pi [/math]
Fine (ammazza che risposta lunga!)
:love
Scusami :)
Grazie mille ...Adesso me la leggo con calma così capisco tutto ,ma se dovessi avere ancora dei dubbi sempre su queste cose posso scriverti ancora qui?:)
BIT5:
Fine (ammazza che risposta lunga!)
Scusami :)
Grazie mille ...Adesso me la leggo con calma così capisco tutto ,ma se dovessi avere ancora dei dubbi sempre su queste cose posso scriverti ancora qui?:)
Certo.
Prima domanda:
Se hai[math] \sin x ( 2 \sin x -1) >0 [/math]
studio fattore per fattore:
[math] \sin x > 0 [/math]
Qui devi guardare sulla circonferenza goniometrica, quando il seno e' maggiore di 0 (ovvero i valori degli angoli che hanno il seno positivo)
Scusami ma non dovrei prima fare quel grafico tipo questo per i primi due fattori?!?
0--------pi/3-------pi-------2/3pi----------2pi
|+++++++++++++|--------------------------|
----------|++++++++++++|-----------------|
Ma come fai a fare il grafico, se non conosci i valori per cui
senx>0 e 2sinx-1>0 ?
senx>0 e 2sinx-1>0 ?
ma scusami non li posso ricavare?!?
senx>0 è uno mentre l'altro sarebbe sinx>1/2
0 1/2
------|++++++++++++++
------|------|++++++++
ossia
+ | - | +
x1/2
Sto sbagliando?!?:con
senx>0 è uno mentre l'altro sarebbe sinx>1/2
0 1/2
------|++++++++++++++
------|------|++++++++
ossia
+ | - | +
x1/2
Sto sbagliando?!?:con
Si', sbagli..
Perche' non e' vero che senx>0 per x>0
Infatti se prendi, ad esempio, x=3/2pigreco (che e' maggiore di zero) il seno e' -1 (che non e' maggiore di zero).
Ripeto: guarda la circonferenza. Il seno e' maggiore di zero se l'angolo e' compreso tra 0 e pigreco!
Perche' non e' vero che senx>0 per x>0
Infatti se prendi, ad esempio, x=3/2pigreco (che e' maggiore di zero) il seno e' -1 (che non e' maggiore di zero).
Ripeto: guarda la circonferenza. Il seno e' maggiore di zero se l'angolo e' compreso tra 0 e pigreco!
Quindi quando ho una disequazione del genere dovrei semplicemente analizzarla solo sulla circonferenza goniometrica?
Una disequazione del tipo
sen x>0 o cos x>0 (o
sen x>0 o cos x>0 (o
Inoltre nel grafico della retta osservo
____0______30°_____90°____150°___360°
-------|++++++++|+++++++|-----|-----|-----
-------|--------|+++++++|+++++|-----|-----
+______-____+___-______+____+
Nelle disequazioni devo prendere solo i segni positivi (o negativi) a seconda della "traccia" tipo sen^2-sinx>0 -quindi in questo caso solo quelli positivi-?Oppure tutti quei segni che la retta mi da' positivi -o negativi- senza avere "la continuità"?
Non so se mi sono spiegata...
____0______30°_____90°____150°___360°
-------|++++++++|+++++++|-----|-----|-----
-------|--------|+++++++|+++++|-----|-----
+______-____+___-______+____+
Nelle disequazioni devo prendere solo i segni positivi (o negativi) a seconda della "traccia" tipo sen^2-sinx>0 -quindi in questo caso solo quelli positivi-?Oppure tutti quei segni che la retta mi da' positivi -o negativi- senza avere "la continuità"?
Non so se mi sono spiegata...
Mi dispiace, ma non ho capito..
Praticamente volevo dire in questa disequazione
-ad esempio-
la analizzo tutta -circonferenza goniometrica e retta- e arrivo al grafico della retta
ora vedo che le linee tratteggiate sono negative mentre quelle continue sono positive
esempio:
______0____90°____
------|+++++|+++++
++++++|-----|+++++
analizzo che tratteggiata e continua mi portano a
- (perchè - e + = -) - e +
Dunque ora io analizzo il segno della formula iniziale
quindi essendo > è positivo
io analizzo la parte del grafico dove ho tutte le linee continue tipo x>90° ?
Oppure tutte quelle linee che mi indicano il +?!?
[math] \sin x ( 2 \sin x -1) >0 [/math]
-ad esempio-
la analizzo tutta -circonferenza goniometrica e retta- e arrivo al grafico della retta
ora vedo che le linee tratteggiate sono negative mentre quelle continue sono positive
esempio:
______0____90°____
------|+++++|+++++
++++++|-----|+++++
analizzo che tratteggiata e continua mi portano a
- (perchè - e + = -) - e +
Dunque ora io analizzo il segno della formula iniziale
[math] \sin x ( 2 \sin x -1) >0 [/math]
quindi essendo > è positivo
io analizzo la parte del grafico dove ho tutte le linee continue tipo x>90° ?
Oppure tutte quelle linee che mi indicano il +?!?
Alla fine dovrai prendere gli intervalli in cui i segni sono concordi (ovvero + e + oppure - e -, dal momento che il prodotto dei segni e' positivo e tu devi prendere i valori > 0 )
Se i valori da te scritti sono ipotetici, ok, altrimenti non capisco da dove siano usciti 0 e 90..
Se i valori da te scritti sono ipotetici, ok, altrimenti non capisco da dove siano usciti 0 e 90..
No tranquillo sono ipotetici....
Quindi per tornare alla mia domanda quelli che il grafico mi da indipendentemente dalla continuità delle due linee.
Quindi per tornare alla mia domanda quelli che il grafico mi da indipendentemente dalla continuità delle due linee.
Ma cosa significa "continuita' delle due linee"??
Studi il grafico (ad esempio hai 3 fattori)
----a----------b-----------c---------
----++++++++++++++++++++
---------------++++++++---------
++++--------++++++++++++++
Se hai una disequazione > 0 prendi tutti gli intervalli dove il risultato e' +
(in questo caso a
Studi il grafico (ad esempio hai 3 fattori)
----a----------b-----------c---------
----++++++++++++++++++++
---------------++++++++---------
++++--------++++++++++++++
Se hai una disequazione > 0 prendi tutti gli intervalli dove il risultato e' +
(in questo caso a
Come spiegarlo ...Quando ero nel biennio mi dicevano che la continuità delle linee altro non era che la presenza delle linee dei risultati mi spiego meglio
tipo
x>4
x>6
x>2
___2___4___6
---|++++++++++
-------|+++| +++
-----------|+++
tipo
x>4
x>6
x>2
___2___4___6
---|++++++++++
-------|+++| +++
-----------|+++
E dunque qual e' il dubbio?
Questa rappresenta un'ipotetica soluzione di una disequazione con 3 fattori.
Alla fine studi i segni prima di 2, tra 2 e 4, tra 4 e 6 e dopo 6.
E prendi l'intervallo con il + se la diseq. e' >0, con il - se e' < 0
Questa rappresenta un'ipotetica soluzione di una disequazione con 3 fattori.
Alla fine studi i segni prima di 2, tra 2 e 4, tra 4 e 6 e dopo 6.
E prendi l'intervallo con il + se la diseq. e' >0, con il - se e' < 0
BIT5:
E dunque qual e' il dubbio?
Questa rappresenta un'ipotetica soluzione di una disequazione con 3 fattori.
Alla fine studi i segni prima di 2, tra 2 e 4, tra 4 e 6 e dopo 6.
E prendi l'intervallo con il + se la diseq. e' >0, con il - se e' < 0
No perchè nel grafico che ti ho fatto prima-ipotetico-
pensavo di dover segnare come risultato finale solo quello in rosso invece come mi hai fatto capire devo prendere solo quello con i + o - a secondo ,ovviamente,del segno della "traccia".
Grazie mille mi sei stato di grande aiuto!;)
Ho capito adesso la domanda!
Bene, mi fa piacere, che comunque a furia di scriverti, sono riuscito a farti capire :D
Bene, mi fa piacere, che comunque a furia di scriverti, sono riuscito a farti capire :D
Mi dispiace di averti assillato di domande!:dontgetit
Comunque grazie mille ancora!:) :love
Comunque grazie mille ancora!:) :love
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