Trigonometria: dominio, codominio in disequazione

[Mr.Mazzarr]

Argomento trattato con un altro utente in un altro topic, ho pensato di aprirne uno singolare utile non solo a me.
Il topic è incentrato sulle funzioni trigonometrico, sul loro dominio e codominio e quindi come '' giostrarsi '' in casi di disequazione e campi d'esistenza.

Partiamo col scrivere le funzioni trigonometri con rispettivo dominio e codominio:

$y=sin x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=cos x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=tan x$: $R-{pi/2 + kpi} rarr R$

$y=arcsin x$: $[-1, 1] rarr [-pi/2, pi/2]$
$y=arccos x$: $[-1, 1] rarr [0, pi]$
$y=arctan x$: $(-oo, +oo) rarr (-pi/2, pi/2)$

Ora. Una omand:

- Come si osservano le funzioni trigonometriche in un caso di disequazione? Prendiamo, ad esempio, il campo d'esistenza di:

$log(arcsin(x+1))$

Essendo argomento del logaritmo, bisogna porre $arcsin(x+1) > 0$. Ed essendo argomento dell'arcoseno, bisogna porre $-1 < x < 1$. Sul secondo è molto semplice lavorare, ma sul primo che discorso devo fare?

[Mr.Mazzarr]

Ehm, non capisco però da dove esce 'sto $sinx - 2 < 0$

Il numeratore è $sin(sinx - 2) >= 0$, il denominatore è $1 - sinx > 0$.
Per il calcolo del numeratore non devo fare la regola dei segni tra $sin >= 0$ e $sinx >= 2$ ?

[minomic]

"Mr.Mazzarr":Ehm, non capisco però da dove esce 'sto $sinx - 2 < 0$

Il numeratore è $sin(sinx - 2) >= 0$, il denominatore è $1 - sinx > 0$.
Per il calcolo del numeratore non devo fare la regola dei segni tra $sin >= 0$ e $sinx >= 2$ ?

Per abbreviare i calcoli (e non rischiare di commettere errori in seguito) ho semplicemente notato che di questi tre fattori ce n'è uno del quale conosciamo già il segno, visto che $\sin x - 2$ è negativo $\forall x$. Infatti il seno va da $-1$ a $1$ e quindi se gli sottrai $2$ hai sempre un numero negativo.

[Mr.Mazzarr]

Ah ecco. E' la stessa cosa di scrivere:

$sinx - 2 > 0 ->$ mai verificato

Perché non mi trovo poi.

[minomic]

"Mr.Mazzarr":Ah ecco. E' la stessa cosa di scrivere:

$sinx - 2 > 0 ->$ mai verificato

Sì esatto è la stessa cosa. Quindi se quel fattore è negativo e vogliamo che la frazione nel suo complesso sia positiva dovremo avere il prodotto degli altri fattori negativo, in modo che "meno per meno faccia più".
Inoltre, dato che in tutti i fattori compare $\sin x$, ho risolto la disequazione rispetto a questo e sono passato agli angoli solo in fondo. Non avrei potuto farlo se le funzioni goniometriche fossero state più di una, come ad esempio un seno e un coseno, ma in questo caso risulta molto più comodo.

[Mr.Mazzarr]

Ah ecco, tutto chiaro.

Nello svolgimento di una regola dei segni mi sono ritrovato di fronte a $cosx > sqrt(2)$.
Per trovare l'arco che rispetti tale disequazione, devo andare a trovare il valore di quel $sqrt(2)$ in radianti?

[minomic]

"Mr.Mazzarr":Nello svolgimento di una regola dei segni mi sono ritrovato di fronte a $cosx > sqrt(2)$.
Per trovare l'arco che rispetti tale disequazione, devo andare a trovare il valore di quel $sqrt(2)$ in radianti?

Per risolverla devi immaginare la retta verticale $x=\sqrt{2}$ e prendere la parte della circonferenza goniometrica che sta "alla destra" di questa retta. Ti accorgi però subito che $\sqrt{2} > 1$ quindi non esiste alcun angolo tale che il suo coseno sia maggiore di $\sqrt{2}$. In conclusione quella disequazione è impossibile.

Comunque mi sembra che tu faccia un po' di confusione con questi radianti. Se scrivi $$\cos \alpha = k$$ $\alpha$ è in radianti mentre $k$ è un numero puro.

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi, riuppo un secondo questo topic per chiedervi: c'era su questo forum un immagine della sovrapposizione dei grafici di seno e coseno, utile per il calcolo di disequazioni come $senx > cosx$ o viceversa. Potreste darmi questa immagine?

Grazie!

[minomic]

Ciao, puoi creare questa ed altre immagini con uno di quei software per tracciare i grafici. Comunque ecco qui

[Zero87]

Mi intrometto un po' a cavolo a dire il vero, però preferisco - se possibile - il metodo analitico (stavo per scrivere "rimaneggiativo", che rende meglio l'idea).

$sin(x)>cos(x)$

raccogliendo il coseno al primo membro
$cos(x)\frac{sin(x)}{cos(x)}>cos(x)$

porto il coseno solo soletto di là e lo metto a fattor comune
$cos(x)(\frac{sin(x)}{cos(x)}-1)>0$

da cui
$cos(x)(tan(x)-1)>0$

che si può studiare con uno studio del segno vecchio stile senza troppi inconvenienti.

Attenzione
"Raccolgo il coseno", non "divido entrambi i membri per il coseno" perché il segno del coseno varia e voglio evitare cose come "cambio di verso della disequazione".

Attenzione (e 2)
La disequazione iniziale è definita per ogni $x$ reale, mentre quella che ottengo, a causa della tangente, non lo è per $\pi/2+k\pi$. Quindi l'unico vero inconveniente che ho è quello di vedere a parte il caso $\pi/2+k\pi$ all'inizio per poi aggiungerlo alla soluzione finale.

[minomic]

Sicuramente anche io preferisco il metodo analitico (sarà che faccio pena a disegnare). In particolare il metodo dell'angolo aggiunto: $$
\sin x - \cos x > 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}cos x > 0 \Rightarrow \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)>0
$$ che ha una soluzione immediata.

[giammaria2]

Ed il metodo grafico? Posto
${(X=cosx),(Y=sinx):}$
ci basta guardare in quale parte del cerchio goniometrico si ha $Y>X$, cioè siamo al di sopra della bisettrice del primo e terzo quadrante.

[Mr.Mazzarr]

Una disequazione del tipo:

$sinx > - cosx$

Come la risolvereste? Io sono solito sovrapporre i due grafici e studiare quando uno è sopra l'altro, ma in tal caso non saprei come muovermi dato che il coseno è di segno negativo.

[burm87]

Formule parametriche?

[chiaraotta1]

Tracciato il grafico di $cos x$, se ne disegni il simmetrico rispetto all'asse $x$ ottieni quello di $-cos x$.
Comunque la disequazione si può risolvere facilmente anche così
$sinx > - cosx->sinx + cosx>0->sqrt(2)/2sin(x+pi/4)>0->sin(x+pi/4)>0->$
$0+2kpi-pi/4+2kpi

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[Mr.Mazzarr]

Chiara potresti spiegarmi cos'hai fatto? Non ho ben capito.