Trigonometria: dominio, codominio in disequazione
Argomento trattato con un altro utente in un altro topic, ho pensato di aprirne uno singolare utile non solo a me.
Il topic è incentrato sulle funzioni trigonometrico, sul loro dominio e codominio e quindi come '' giostrarsi '' in casi di disequazione e campi d'esistenza.
Partiamo col scrivere le funzioni trigonometri con rispettivo dominio e codominio:
$y=sin x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=cos x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=tan x$: $R-{pi/2 + kpi} rarr R$
$y=arcsin x$: $[-1, 1] rarr [-pi/2, pi/2]$
$y=arccos x$: $[-1, 1] rarr [0, pi]$
$y=arctan x$: $(-oo, +oo) rarr (-pi/2, pi/2)$
Ora. Una omand:
- Come si osservano le funzioni trigonometriche in un caso di disequazione? Prendiamo, ad esempio, il campo d'esistenza di:
$log(arcsin(x+1))$
Essendo argomento del logaritmo, bisogna porre $arcsin(x+1) > 0$. Ed essendo argomento dell'arcoseno, bisogna porre $-1 < x < 1$. Sul secondo è molto semplice lavorare, ma sul primo che discorso devo fare?
Il topic è incentrato sulle funzioni trigonometrico, sul loro dominio e codominio e quindi come '' giostrarsi '' in casi di disequazione e campi d'esistenza.
Partiamo col scrivere le funzioni trigonometri con rispettivo dominio e codominio:
$y=sin x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=cos x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=tan x$: $R-{pi/2 + kpi} rarr R$
$y=arcsin x$: $[-1, 1] rarr [-pi/2, pi/2]$
$y=arccos x$: $[-1, 1] rarr [0, pi]$
$y=arctan x$: $(-oo, +oo) rarr (-pi/2, pi/2)$
Ora. Una omand:
- Come si osservano le funzioni trigonometriche in un caso di disequazione? Prendiamo, ad esempio, il campo d'esistenza di:
$log(arcsin(x+1))$
Essendo argomento del logaritmo, bisogna porre $arcsin(x+1) > 0$. Ed essendo argomento dell'arcoseno, bisogna porre $-1 < x < 1$. Sul secondo è molto semplice lavorare, ma sul primo che discorso devo fare?
Risposte
Ad esempio, con seno e coseno, la costruzione del relativo grafico e/o della circonferenza trigonometrica aiuta tantissimo ed evita scocciature e sforzi di memoria. Con la tangente diventa praticamente fondamentale imparare a memoria le misure in radianti fondamentali!
Con il coseno si parla di radianti negativi. Ad esempio, per considerare il coseno maggiore di zero prendo anche l'angolo in radianti $-pi/2$ mentre col seno si parla di $3/2 pi$. Ciò è dovuto al fatto che se considerassi con il coseno positivo l'angolo $3/2 pi$, incontrerebbe dopo $2pi$ e non $0$, giusto? In quanto rientrebbe nel campo della periodicità del coseno, mentre se prendo l'angolo in valori negativi in quel punto incontrerebbe $0$ a salire e quindi avrebbe senso dire che il coseno è tra $-pi/2$ e $pi/2$ quando è positivi ( escludendo proprio i valori estremi ).
Con il coseno si parla di radianti negativi. Ad esempio, per considerare il coseno maggiore di zero prendo anche l'angolo in radianti $-pi/2$ mentre col seno si parla di $3/2 pi$. Ciò è dovuto al fatto che se considerassi con il coseno positivo l'angolo $3/2 pi$, incontrerebbe dopo $2pi$ e non $0$, giusto? In quanto rientrebbe nel campo della periodicità del coseno, mentre se prendo l'angolo in valori negativi in quel punto incontrerebbe $0$ a salire e quindi avrebbe senso dire che il coseno è tra $-pi/2$ e $pi/2$ quando è positivi ( escludendo proprio i valori estremi ).
In ogni caso ricorda che dire $(-pi/2, pi/2)$ è la stessa cosa che dire $(0, pi/2) uu (3/2pi, 2pi)$ ma spesso i libri di testo utilizzano la prima anche per maggiore compattezza di stampa.
Sì, i punti sono gli stessi. Cambia per un discorso di periodicità, no?
Comunque la circonferenza trigonometrica si ripete infinite volte, dopo $-pi/2$ incontro lo $0$ mentre dopo $3/2 pi$ incontro $2pi$.
Comunque ok, su seno e coseno ci sono. Manco un po' di tangente, ma devo imparare i valori principali.
Mentre il lavoro sulle loro inverse si basa soprattutto sulla conoscenza di dominio e codominio, no?
Comunque la circonferenza trigonometrica si ripete infinite volte, dopo $-pi/2$ incontro lo $0$ mentre dopo $3/2 pi$ incontro $2pi$.
Comunque ok, su seno e coseno ci sono. Manco un po' di tangente, ma devo imparare i valori principali.
Mentre il lavoro sulle loro inverse si basa soprattutto sulla conoscenza di dominio e codominio, no?
"Mr.Mazzarr":
Mentre il lavoro sulle loro inverse si basa soprattutto sulla conoscenza di dominio e codominio, no?
Sì e sulla loro definizione. Ad esempio $b=arcsin(a)$ significa che $sin b = a$, eccetera.
Bene. Ho imparato a disegnare i grafici di seno e coseno e la circonferenza goniometrica.
Riguardo la tangente, alla fin fine si può anche sapere il valore di seno e coseno a determinati gradi e calcolarsela da se.
Riguardo la tangente, alla fin fine si può anche sapere il valore di seno e coseno a determinati gradi e calcolarsela da se.
"Mr.Mazzarr":
Riguardo la tangente, alla fin fine si può anche sapere il valore di seno e coseno a determinati gradi e calcolarsela da se.
Certamente!
Noto che invece la cotangente non la trovo quasi mai negli esercizi.
E nemmeno tra le derivate notevoli ( ad esempio ) se cerco su internet una buona tabella.
Comunque una domanda: oggi ho incontrato una disequazione del genere:
$senx < 1$
Ho pensato, essendo $1$ il valore massimo che può assumere il seno ho scritto:
$x < 3/2 pi + 2kpi$
Discorso e risultato sono esatti?
E nemmeno tra le derivate notevoli ( ad esempio ) se cerco su internet una buona tabella.
Comunque una domanda: oggi ho incontrato una disequazione del genere:
$senx < 1$
Ho pensato, essendo $1$ il valore massimo che può assumere il seno ho scritto:
$x < 3/2 pi + 2kpi$
Discorso e risultato sono esatti?
"Mr.Mazzarr":
Discorso e risultato sono esatti?
No, il seno di qualsiasi angolo è compreso tra $-1$ e $1$, quindi la soluzione di $sin x < 1$ è $AA x in RR - {pi/2 + 2kpi}$, cioè tutti i valori tranne l'unico in cui il seno vale proprio $1$.
Ok, ma non è la stessa cosa? 
Dire che la $x$ '' abbraccia '' tutta la circonferenza trigonometrica e dire che è per ogni x appartenente ad R, non è più o meno dire la stessa cosa?
Comunque non capisco perchè hai sottratto $pi/2$. Lì il seno vale $0$, è sempre minore di $1$.
Dire che la $x$ '' abbraccia '' tutta la circonferenza trigonometrica e dire che è per ogni x appartenente ad R, non è più o meno dire la stessa cosa?
Comunque non capisco perchè hai sottratto $pi/2$. Lì il seno vale $0$, è sempre minore di $1$.
"Mr.Mazzarr":
Comunque non capisco perchè hai sottratto $pi/2$. Lì il seno vale $0$, è sempre minore di $1$.
Il seno in $pi/2$ vale $1$ visto che $pi/2$ equivale a $90°$.
"minomic":
[quote="Mr.Mazzarr"]Comunque non capisco perchè hai sottratto $pi/2$. Lì il seno vale $0$, è sempre minore di $1$.
Il seno in $pi/2$ vale $1$ visto che $pi/2$ equivale a $90°$.[/quote]
Giusto, mi sto totalmente confondendo.
Ora ho riletto tutto ed è ok, ho capito il discorso!
"Mr.Mazzarr":
Giusto, mi sto totalmente confondendo.
Ora ho riletto tutto ed è ok, ho capito il discorso!
Perfetto!
Andando a svolgere una regola dei segni, ho incontrato una situazione particolare:
$(1 - senx)^2 > 0$
Svolgendo il quadrato avremo una situazione con, ovviamente, delta uguale a $0$ e $1$ unica soluzione per $x$.
Come lo svolgo? $senx > 1$ e quindi mai verificato?
$(1 - senx)^2 > 0$
Svolgendo il quadrato avremo una situazione con, ovviamente, delta uguale a $0$ e $1$ unica soluzione per $x$.
Come lo svolgo? $senx > 1$ e quindi mai verificato?
"Mr.Mazzarr":
$(1 - senx)^2 > 0$
Un quadrato è sempre maggiore di zero, tranne quando si annulla, cioè per
\[
\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}
\]In conclusione la soluzione è \( \forall x \ne \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \).
Ah ecco. Grazie.
P.s.
Più tardi se posto un esercizio che ho fatto potreste dirmi se è sbagliato?
P.s.
Più tardi se posto un esercizio che ho fatto potreste dirmi se è sbagliato?
"Mr.Mazzarr":
Più tardi se posto un esercizio che ho fatto potreste dirmi se è sbagliato?
Certamente!
Metto tutto sotto spoiler senò il post diventa molto grande:
Con la prima parte sono d'accordo e arriviamo a
\[
\dfrac{\sin x (\sin x - 2)}{2 \sin x - 1} \ge 0
\]Facciamo qualche osservazione: il seno è compreso tra $-1$ e $1$, quindi \( \sin x - 2 < 0 \). Allora la disequazione diventa
\[
\dfrac{\sin x}{2\sin x - 1} \le 0
\]Ci conviene risolverla nella variabile $sin x$ e poi passare agli angoli. Risulta
\[
0 \le \sin x \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow 0 \le x \le \dfrac{\pi}{6} \vee \dfrac{5}{6} \pi \le x \le \pi
\]Aggiungiamo le periodicità e arriviamo alla soluzione finale:
\[
2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \vee \dfrac{5}{6} \pi+2k\pi \le x \le \pi+2k\pi
\]
\[
\dfrac{\sin x (\sin x - 2)}{2 \sin x - 1} \ge 0
\]Facciamo qualche osservazione: il seno è compreso tra $-1$ e $1$, quindi \( \sin x - 2 < 0 \). Allora la disequazione diventa
\[
\dfrac{\sin x}{2\sin x - 1} \le 0
\]Ci conviene risolverla nella variabile $sin x$ e poi passare agli angoli. Risulta
\[
0 \le \sin x \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow 0 \le x \le \dfrac{\pi}{6} \vee \dfrac{5}{6} \pi \le x \le \pi
\]Aggiungiamo le periodicità e arriviamo alla soluzione finale:
\[
2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \vee \dfrac{5}{6} \pi+2k\pi \le x \le \pi+2k\pi
\]
Scusa minomic non ho capito come da $sinx - 2 > 0$ sei arrivato a quella disequazione.
"Mr.Mazzarr":
Scusa minomic non ho capito come da $sinx - 2 > 0$ sei arrivato a quella disequazione.
Veramente io dicevo $\sinx - 2 < 0$
Comunque tu hai una frazione formata da tre fattori e vuoi che sia maggiore di zero. Se uno di questi fattori è negativo allora il prodotto degli altri due deve essere negativo perchè "meno per meno fa più".
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