Trigonometria applicata alla topografia
Non riesco a trovarmi con il risultato del libro in merito a questo (semplice?) problema di trigonometria.
Vi riporto la traccia:
"Ti trovi su una spiaggia e vuoi calcolare l'altezza di un isolotto scoglioso. Scegli due punti $A$ e $B$ allineati con l'isolotto e distanti fra loro $20 m$. Con un teodolite misuri gli angoli $DAC=28^\circ$ e $DBC=20^\circ$ ($D$ è un punto alla base dell'isolotto, $C$ è un punto sulla sua sommità). Quanto risulta alto?"
Premesso che avrei preferito il classico triangolo e non tutti questi mezzucci per indicare vertici e angoli, mi sono apprestato a risolvere il problema.
Ho applicato il teorema dei seni al triangolo $ABC$, ricavandomi la lunghezza di $BC$ che è $12,63$. A questo punto ho pensato di trovarmi l'area con la formula $A=1/2 * l_1 * l_2 * sen\alpha$: di qui, ecco l'area del triangolo, che è $43,21 m^2$. Poi ricavo l'altezza dividendo il doppio dell'area per la base, che ho ed è $AB$.
Il mio risultato: $4,32 m$. Il risultato del testo: $23,07 m$.
A mio parere, se ho commesso qualche errore, è dovuto alla sbagliata interpretazione da un punto di vista grafico; tuttavia, non so dove possa celarsi lo sbaglio.
Mi date una mano?
Grazie anticipatamente.
Vi riporto la traccia:
"Ti trovi su una spiaggia e vuoi calcolare l'altezza di un isolotto scoglioso. Scegli due punti $A$ e $B$ allineati con l'isolotto e distanti fra loro $20 m$. Con un teodolite misuri gli angoli $DAC=28^\circ$ e $DBC=20^\circ$ ($D$ è un punto alla base dell'isolotto, $C$ è un punto sulla sua sommità). Quanto risulta alto?"
Premesso che avrei preferito il classico triangolo e non tutti questi mezzucci per indicare vertici e angoli, mi sono apprestato a risolvere il problema.
Ho applicato il teorema dei seni al triangolo $ABC$, ricavandomi la lunghezza di $BC$ che è $12,63$. A questo punto ho pensato di trovarmi l'area con la formula $A=1/2 * l_1 * l_2 * sen\alpha$: di qui, ecco l'area del triangolo, che è $43,21 m^2$. Poi ricavo l'altezza dividendo il doppio dell'area per la base, che ho ed è $AB$.
Il mio risultato: $4,32 m$. Il risultato del testo: $23,07 m$.
A mio parere, se ho commesso qualche errore, è dovuto alla sbagliata interpretazione da un punto di vista grafico; tuttavia, non so dove possa celarsi lo sbaglio.
Mi date una mano?
Grazie anticipatamente.
Risposte
"TR0COMI":
Premesso che avrei preferito il classico triangolo e non tutti questi mezzucci per indicare vertici e angoli,
È il problema della matematica in Italia: bellissimi problemi preconfezionati, che non hanno nulla a che fare con la realtà, e poi anneghi in un bicchier d'acqua e non riconosci un banale problema con i triangoli rettangoli!!!
"TR0COMI":
Ho applicato il teorema dei seni al triangolo $ABC$, ricavandomi la lunghezza di $BC$ che è $12,63$.
che è sbagliata perché $BC=AB*(sin 152)/(sin8)=67,47$
E a questo punto puoi usare il triangolo rettangolo BCD e ottieni $CD=BC*sin20=23,07$
Scusa amelia, ma dove hai preso $sin 152$? Intendevi $sin 132$?
Cioè, io prendo il triangolo $ABC$ e posso scrivere per il teorema dei seni $BC:sin 28=20:sin132$. E' questo passaggio che è sbagliato....perchè?
In un triangolo, le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti, e ad $AB$ è opposto $132 ^\circ$ mentre a $BC$ è opposto $28^\circ$.... o no?
Cioè, io prendo il triangolo $ABC$ e posso scrivere per il teorema dei seni $BC:sin 28=20:sin132$. E' questo passaggio che è sbagliato....perchè?
In un triangolo, le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti, e ad $AB$ è opposto $132 ^\circ$ mentre a $BC$ è opposto $28^\circ$.... o no?
180-28=152
D'accordo, ma con $180-28$ ti trovi la somma degli altri due angoli del triangolo....uno di questi due angoli è $20^\circ$ e lo sappiamo dai dati... c'è qualcosa di grosso che mi sfugge, o piuttosto è la mia figura che probabilmente è diversa dalla tua?
I tre punti B, A e D sono allineati, mentre C è sulla perpendicolare a D. Il triangolo BAC ha l'angolo in B di 20 e quello in A è l'angolo esterno, quindi il supplementare di 28, cioè 152.
QUINDI SONO $B$ $A$ e $D$ ad essere allineati, e NON come io ho scritto fino ad ora, nell'ordine da sinistra verso destra, $A$ $D$ e $B$.... si, ora dovrei trovarmi con i calcoli.
P.S. Per "allineati con l'isolotto" io avevo pensato a due punti $A$ e $B$ che lo "delimitassero".
P.S. Per "allineati con l'isolotto" io avevo pensato a due punti $A$ e $B$ che lo "delimitassero".
Mi sembrava chiaro, ma adesso che mi ci fai pensare lo è per me che a furia di insegnare ai geometri ho imparato come si usa un teodolite e quali misure si devono prendere quando la base dell'oggetto da misurare non è raggiungibile.
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