TRIGONOMETRIA (46296)

[saracicci]

Ciao ragazzi:) avrei bisogno di un grosso aiuto! Non riesco a svuolgere questi esercizi. Se qualcuno e capace a ha voglia anche di spiegarmeli lo ringrazio!!!

1) cotg alfa= 1/2 pgrego

[BIT5]

Sapendo che

[math] cotg \alpha= \frac{1}{\tan \alpha} [/math]

Avremo dunque

[math] \tan \alpha= \frac{1}{cotg \alpha} = \frac{1}{\frac12}=2 [/math]

Ricordando che

[math] \tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta} [/math]

e che

[math] \tan \frac{\pi}{4}=1 [/math]

Allora avremo

[math] \tan \( \alpha - \frac{\pi}{4} \)= \frac{2-1}{1+2}= \frac13 [/math]

Per quanto riguarda il secondo esercizio, ricordiamo che

[math] \sin ( \alpha + \beta )= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha [/math]

E dunque

[math] \sin \( \frac{\pi}{6} + \alpha \) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} = \frac12 \cos \alpha + \frac{\sqrt3}{2} \sin \alpha [/math]

Ci occorrono i valori di seno e coseno di alfa

Sappiamo che

[math] \cos \alpha = \frac{1}{\pm \sqrt{1+ \tan^2 \alpha}} [/math]

E dunque

[math] \cos \alpha = \frac{1}{ \pm \sqrt{1+4}} = \frac{1}{\pm \sqrt5} [/math]

che razionalizzato dara'

[math] \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt5}{5} [/math]

Siccome siamo nel terzo quadrante, quadrante in cui il coseno e' negativo, avremo dunque che

[math] \cos \alpha = - \frac{\sqrt5}{5} [/math]

Ricordando infine la relazione fondamentale della trigonometria

[math] \sin \alpha = \pm \sqrt{1- \cos^2 \alpha} [/math]

avremo infine che

[math] \sin \alpha = \pm \sqrt{1- \frac15}= \pm \sqrt{\frac45} = \pm \frac{2}{\sqrt5} [/math]

che razionalizzato dara'

[math] \sin \alpha = \pm \frac{2 \sqrt5}{5} [/math]

e siccome nel terzo quadrante anche il seno e' negativo, avremo

[math] \sin \alpha = - \frac{2 \sqrt5}{5} [/math]

Ora sostituendo alla relazione sopra avrai

[math] \sin \( \frac{\pi}{6} + \alpha \) = \frac12 \( - \frac{\sqrt5}{5} \) + \frac{\sqrt3}{2} \(- \frac{2 \sqrt5}{5} \)= - \frac{\sqrt5}{10}- \frac{2\sqrt{15}}{10}= -\frac{\sqrt5}{10} \(1+2 \sqrt3 \) [/math]

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