Trigonometria
Data la semicirconferenza di diametro $AB=2r$ considera le corde $AC$ e $CD$ consecutive e congruenti.
Posto $ABC=x$, trova per quali valori di x si ha $AC+CD+2DB=AB$.
[Nessun valore di x]
Io ho trovato :
$AC=AB*sin(x)$
$CD=AB*sin(90-x)=AB*cos(x)$
Poi però non riesco a capire come calcolare $DB$...
Grazie
Posto $ABC=x$, trova per quali valori di x si ha $AC+CD+2DB=AB$.
[Nessun valore di x]
Io ho trovato :
$AC=AB*sin(x)$
$CD=AB*sin(90-x)=AB*cos(x)$
Poi però non riesco a capire come calcolare $DB$...
Grazie
Risposte
Scusa, ma $CD$ non è congruente ad $AC$?
"gugo82":
Scusa, ma $CD$ non è congruente ad $AC$?
Hai ragione...però il mio problema rimane nel trovare $DB$
Il triangolo ADB è rettangolo in D e $Ahat(B)D=2x$ quindi $Bhat(A)D=90-2x$ e adesso basta il teorema della corda.
Domani provo a sistemare i passaggi ....grazie
"@melia":
Il triangolo ADB è rettangolo in D e $Ahat(B)D=2x$ quindi $Bhat(A)D=90-2x$ e adesso basta il teorema della corda.
Riguardando non capisco come possa essere l'angolo $ABD=2x$...da cosa si deduce?
Grazie
Io ho provato a risolverlo cosi ma sbaglio qualcosa
$AC=CD=2r*sen(x)$
$DB=2r*sen(90-2x)=2r*cos(2x)$
Quindi nell'equazione inziale del testo verrebbe
$2*2r*sen(x)+2*2*rcos(2x)=2r$
Che trasformando ho reso(non so se correttamente) in
$4sen^2(x)-2sen(x)-1=0$
Da cui trovo risultati stranissimi mentre il libro riporta come soluzione $nessun valore di x$
Dove sbaglio? Oppure andrebbero messe le condizioni su $x$ ma non ho idea di quanto possano valere...
$AC=CD=2r*sen(x)$
$DB=2r*sen(90-2x)=2r*cos(2x)$
Quindi nell'equazione inziale del testo verrebbe
$2*2r*sen(x)+2*2*rcos(2x)=2r$
Che trasformando ho reso(non so se correttamente) in
$4sen^2(x)-2sen(x)-1=0$
Da cui trovo risultati stranissimi mentre il libro riporta come soluzione $nessun valore di x$
Dove sbaglio? Oppure andrebbero messe le condizioni su $x$ ma non ho idea di quanto possano valere...
Se le due corde sono congruenti, lo sono anche i corrispondenti angoli alla circonferenza.
Ok invece per la risoluzione del problema?
Nel risolvere il problema per via trigonometrica hai solo sbagliato i conti: viene
$ 4sin^2x-2sinx+1=0$, l'equazione ha il $Delta<0$ perciò nessuna soluzione reale.
Ti propongo una soluzione alternativa, che usa la disuguaglianza triangolare (in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo, uguale solo nel caso di triangolo degenere)
Voglio dimostrare che $AC+CD+2DB=AB$ è impossibile perché il primo membro è sempre maggiore del secondo
$AC+CD>=AD$ usando il triangolo $ACD$
$AD+DB>=AB$ usando il triangolo $ABD$ perciò
$AC+CD+2DB>=AD+DB+DB>=AB+DB$
Se $DB!=0$ allora $AB+DB>AB$ è ho dimostrato che l'uguaglianza è impossibile.
Se $DB=0$ allora $AC=CD-=CB$ ed entrambi valgono$rsqrt2$ e il primo membro dell'uguaglianza è $2rsqrt2$ mentre il secondo membro vale $2r$ e non possono essere uguali.
$ 4sin^2x-2sinx+1=0$, l'equazione ha il $Delta<0$ perciò nessuna soluzione reale.
Ti propongo una soluzione alternativa, che usa la disuguaglianza triangolare (in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo, uguale solo nel caso di triangolo degenere)
Voglio dimostrare che $AC+CD+2DB=AB$ è impossibile perché il primo membro è sempre maggiore del secondo
$AC+CD>=AD$ usando il triangolo $ACD$
$AD+DB>=AB$ usando il triangolo $ABD$ perciò
$AC+CD+2DB>=AD+DB+DB>=AB+DB$
Se $DB!=0$ allora $AB+DB>AB$ è ho dimostrato che l'uguaglianza è impossibile.
Se $DB=0$ allora $AC=CD-=CB$ ed entrambi valgono$rsqrt2$ e il primo membro dell'uguaglianza è $2rsqrt2$ mentre il secondo membro vale $2r$ e non possono essere uguali.
$2*2r*sen(x)+2*2*rcos(2x)=2r$
$2sen(x)+2cos(2x)-1=0$
$2sen(x)+2(1-2sen^2(x))-1=0$
$2sen(x)+2-4sen^2(x)-1=0$
$-4sen^2(x)+2sen(x)+1=0$
$4sen^2(x)-2sen(x)-1=0$
Dove sbaglio? Io trovo $-1$
$2sen(x)+2cos(2x)-1=0$
$2sen(x)+2(1-2sen^2(x))-1=0$
$2sen(x)+2-4sen^2(x)-1=0$
$-4sen^2(x)+2sen(x)+1=0$
$4sen^2(x)-2sen(x)-1=0$
Dove sbaglio? Io trovo $-1$
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