Trigonometria

[hoffman1]

$ 2(cos-sin)<3 + 2^x $


Mi blocco con questa disequazione .
$ 2 cos(x) - 2 sin(x)<2^x + 3 $

[otta96]

Lo conosci un modo per scrivere $cosx-sinx$ in una forma più contratta? Ad esempio $rsin(x+\alpha)$ per qualche $r\inRR,\alpha\in[0,2pi]$.

[hoffman1]

mm , quella formula non la conosco. Potresti spiegarmela ?

[hoffman1]

Facendo uno studio qualitativo ( cioè vedendo il grafico ) l'ho risolta in 2 secondi , ma volendo fare tutti i calcoli come fare ?

[@melia]

"hoffman":
Mi blocco con questa disequazione .
$ 2 cos(x) - 2 sin(x)<2^x + 3 $

Con i passaggi algebrici:
ricordi la formula del coseno di una somma? $cos(alpha+ beta)= cos alpha cos beta- sin alpha sin beta$, lavorando un po' su
$ 2 cos(x) - 2 sin(x)$ puoi trasformarlo in un coseno di una somma di archi

$ 2 cos(x) - 2 sin(x)= 2 sqrt2(sqrt2/2cos(x) - sqrt2/2 sin(x) )= 2 sqrt2( cos (pi/4) cosx-sin (pi/4) sin x= 2 sqrt2 cos (pi/4-x)$
A questo punto la disequazione diventa
$2 sqrt2 cos (pi/4-x)< 2^x+3$ , ma il primo membro è sempre compreso tra $-2 sqrt2$ e $2 sqrt2$, mentre il secondo membro è sempre $>3$ e poiché $3>2 sqrt2$ la disuguaglianza è sempre verificata.

[hoffman1]

diciamo che più o meno l'ho capita ora, ma vorrei tanto sapere se ci fosse un metodo generale . Ovviamente non esiste e dipende dai casi però in linea generale come bisogna ragionare . Tipo in quelle disequazioni con valori assoluti, logaritmi , radicali...

[@melia]

Prima di tutto devi cercare di portare le varie formule nel formato più elementare possibile. Il primo membro della disequazione, essendo una forma lineare, era già un problema se confrontato con un semplice numero.