Triangolo e altezze

[Marco241]

Dimostrare che in un triangolo la somma delle tre altezze è minore del perimetro e maggiore del semiperimetro.

DIMOSTRAZIONE:

Considero un triangolo qualsiasi di base BC. Traccio le altezze AK,BQ,CH.

Poichè l'altezza è un segmento di perpendicolare,ciascuna altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli.

Sappiamo che in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore di ciascun cateto.Quindi posso scrivere:

$ AK
$ BQ
$ CH
Sommando membro a membro dalle tre disequazioni ottengo una nuova disequazione sempre vera:

$ AK+BQ+CH
e la prima parte del problema è dimostrata.

Adesso per dimostrare che le tre altezze sono maggiori del semiperimetro ragiono così:
Sapendo che in un triangolo ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due lati ottengo.

$ AK>AC-KC $
$ AK>AB-BK $
$ BQ>AB-AQ $
$ BQ>BC-QC $
$ CH>AC-AH $
$ CH>BC-BH $

Sommando membro a membro le sei disequazioni ottengo:

$ AK+BQ+CH>(AB+AC+BC)/2 $

ovviamente se sommo membro a membro un numero n di disequazioni vere ottengo sempre una disequazione vera...Dunque credo che il mio ragionamento sia giusto...

[chiaraotta1]

"Marco24":Dimostrare che in un triangolo la somma delle tre altezze è minore del perimetro e maggiore del semiperimetro.

DIMOSTRAZIONE:
.....

...Dunque credo che il mio ragionamento sia giusto...

Anch'io ....