Triangolo di tartaglia e cubo di binomio

[bluna]

Ciao cari,mi spiegate bene bene il triangolo di tartaglia? Dopo averlo formato cosa bisogna fare?
Mi spiegate bene anche il cubo di binomio?
Mi date una spiegazione pratica e teorica del triangolo di tartaglia?
(Mi piacerebbe se me le spiegaste voi e no da siti web)

[BIT5]

Dunque. Senza entrare nello specifico del perche' il triangolo di Tartaglia funzioni (dovresti conoscere il calcolo combinatorio) vediamo a cosa serve

Prendiamo prima di tutto un binomio qualunque

(a+b) ad esempio

ed eleviamolo ad un qualunque esponente. Ad esempio 5

[math] (a+b)^5 [/math]

Quando abbiamo la potenza di un binomio sappiamo che dobbiamo:

Scrivere il primo monomio partendo dall'esponente (in questo caso 5)

[math] a^5+.....a^4+.....a^3+......a^2+.....a^1+.....a^0 [/math]

E siccome sappiamo che tutti i valori elevati alla 1 danno se stessi e che

[math]a^0=1 [/math]

avremo dunque

[math] a^5+....a^4+.....a^3+.....a^2+......a+....1 [/math]

Ora ricominciamo con il secondo monomio (che nell'esempio e' b), scrivendolo a partire dall'esponente 0 e fino all'esponente massimo (che nell'esempio e' 5)

[math] a^5b^0+....a^4b^1+.....a^3b^2+.....a^2b^3+......ab^4+....1b^5 [/math]

E per le considerazioni di prima (esponente 0 e 1) avremo dunque

[math] a^5+....a^4b+.....a^3b^2+.....a^2b^3+......ab^4+....b^5 [/math]

Il triangolo di Tartaglia ti dice, infine, quali coefficienti numerici dovrai inserire al posto dei puntini

Il triangolo di Tartagli si costruisce partendo dai coefficienti da dare a (a+b)^1 (che sono ovviamente 1 e 1 in quanto il risultato e' appunto 1a+1b ovvero a+b

A questo punto:

scrive 1, somma i due numeri precedenti (1+1) e termina con 1

avremo dunque 1 2 1

di nuovo

1

1+2=3

2+1=3

1

i coefficienti del cubo di un binomio (esponente 3) saranno 1 3 3 1

risommiamo con lo stesso metodo per ottenere i coefficienti per esponente 4

1 4 (ovvero 1+3) 6 (ovvero 3+3) 4 (ovvero 3+1) e 1

i coefficienti sono, come puoi notare, sempre simmetrici
Per gli esponenti pari il centro di simmetria e' singolo (in questo caso e' 6)

per gli esponenti dispari il centro e' tra due cifre uguali (ad esempio per esponente 3 il centro e' tra i due 3

Vediamo esponente 5

1 5 10 10 5 1

questi saranno i coefficienti che dovremo inserire al posto dei puntini, sopra

Lo sviluppo della potenza 5 del binomio e' terminata

Rivediamo ora, come comportarci nel caso di binomio piu' complesso

[math](2a-3c^2)^6 [/math]

Grazie a Tartaglia sappiamo che i coefficienti sono 1 6 15 20 15 6 1

e sappiamo che inizieremo con il primo monomio ad esponente via via decrescente (quindi 6,5 fino a 0) e il secondo monomio con esponente via via crescente (indico tutti i dati per farti capire ;) )

[math] 1 (2a)^6 (-3c^2)^0 + 6(2a)^5(-3c^2)^1 + 15 (2a)^4 (-3c^2)^2 + 20 (2a)^3(-3c)^3 + \\ + 15(2a)^2(-3c^2)^4 + 6 (2a)^1(-3c^2)^5 + 1 (2a)^0 (-3c^2)^6 [/math]

che dara' dunque (sottointendento esponenti inutili (1) coefficienti inutili (1) e ricordando che tutti i valori elevati alla 0 danno 1, che tutti i valori negativi elevati ad esponente pari danno risultato positivo mentre valori negativi ad esponente dispari mantengono il segno negativo...)

[math] 64a^6 + 6(32a^5)(-3c^2) + 15 (16a^4)(9c^4) + 20 (8a^3)(-27c^3) + \\ + 15 (4a^2)(81c^8 )+6(2a) \( -243c^{10} \) + 729c^{12} [/math]

Moltiplichi e sei a posto
Noterai che otterrai i segni alternati..

Aggiunto 55 secondi più tardi:

potrebbero esserci errori (spero di no) ma se fosse, sono errori di calcolo e non di concetto :)