Triangolo dai lati razionali

[elios2]

Dato un triangolo ABC tale che le lunghezze AB, BC e CA dei tre lati siano razionali, si dimostri che l'altezza dal vertice B incontra la retta su cui giace il lato AC in un punto D per il quale DA e DC sono razionali. Inoltre, si provi che se l'angolo in B è retto, anche BD è razionale.

[La seconda parte avrei una mezza idea sfruttando i teoremi di euclide/Pitagora, ma il primo non ho idea..]

[codino75]

prova a ricavare l'altezza usando la
formula di Erone per l'area di un triangolo.

[elios2]

Ho calcolato l'altezza con la formula di erone e ottengo:
$BD=1/(2AC)*sqrt[(AB+BC+AC)(BC+AC-AB)(AB+AC-BC)(AB+BC-AC)].
Certamente il radicando è razionale, ma non so se l'altezza è razionale..

[codino75]

"elios":Ho calcolato l'altezza con la formula di erone e ottengo:
$BD=1/(2AC)*sqrt[(AB+BC+AC)(BC+AC-AB)(AB+AC-BC)(AB+BC-AC)].
Certamente il radicando è razionale, ma non so se l'altezza è razionale..

si' hai ragione, mi sa che sta strada non porta a niente.....

[G.D.5]

Posto la mia soluzione tra spolier così da non togliervi il gusto di risolvere il problema.

Sia $\bar{AB}=c, \bar{BC}=a, \bar{AC}=b, \hat{ABC}=\beta, \hat{BAC}=\alpha, \hat{ACB}=\gamma$.
Per il Teorema di Carnot si ha:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * \cos(\alpha) => cos(\alpha)=\frac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc}$
poiché $a, b, c \in \mathbb{Q}$ e $\mathbb{Q}$ è chiuso rispetto alle quattro operazioni elementari, si ha $\cos(\alpha) \in \mathbb{Q}$.
Per analoghe ragioni si ha $\cos(\beta), \cos(\gamma) \in \mathbb{Q}$.
Tracciata l'altezza $BD$ relativa al lato $AC$ si ponga $\bar{BD}=h, \bar{AD}=d_1, \bar{BD}=d_2$.
Nel triangolo $ADB$, retto in $D$ per costruzione, risulta:
$d_1 = c * \cos(\alpha)$
essendo $c, \cos(\alpha) \in \mathbb{Q}$ si conclude che $d_1 \in \mathbb{Q}$.
Analogamente si conclude che $d_2 \in \mathbb{Q}$ andando a considerare il triangolo $BDC$ o, più semplicemente, valutando che $d_2 = b - d_1$ con $b, d_1 \in \mathbb{Q}$.

Sia $\hat{ABC}=\frac{\pi}{2}$. Si ha che $\hat{ABD}=\hat{ACB}=\gamma$ e $\alpha + \gamma = \frac{\pi}{2}$.
Nel triangolo rettangolo $ADB$ retto in $D$ risulta:
$h = c * sen(\alpha) = c * cos(\gamma)$
Essendo $c, \cos(\gamma) \in \mathbb{Q}$ si conclude che $h \in \mathbb{Q}$.

Q.E.D.

[elios2]

Bellina la dimostrazione! Grazie!
Siccome mi è capitato più volte di sentir parlare di operazioni chiuse ad un insieme, vorrei ricapitolare con voi, e se sbaglio qualcosa correggetemi:
$NN$: addizione, moltiplicazione
$ZZ$: addizione, sottrazione, moltiplicazione
$QQ$: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione

[Sk_Anonymous]

"elios":Bellina la dimostrazione! Grazie!
Siccome mi è capitato più volte di sentir parlare di operazioni chiuse ad un insieme, vorrei ricapitolare con voi, e se sbaglio qualcosa correggetemi:
$NN$: addizione, moltiplicazione
$ZZ$: addizione, sottrazione, moltiplicazione
$QQ$: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione

Tutto corretto tranne il fatto che per la divisione in $QQ$ devi togliere lo $0$, dividere per $0$ non è ammesso.

[elios2]

Me sbadata! Grazie!