Triangolo da minimizzare
"tra tutti i tringoli aventi costante un angolo $x$ e l'area $S$, qual'è quello in cui è minima la somma dei quadrati dei lati che comprendono $x$?"
il mio approccio: detti $b$ e $c$ i lati che comprendono l'angolo $x$ e $h$ l'altezza relativa al lato $c$ (che ho messo come base), ho tre relazioni: $x="costante"$; $"AREA"=(h*c)/2="costante"$; $c^2+b^2=y$, e quest'ultima è la funzione da minimizzare.
e mò? ho sostituito $b$ con $b=h/sinx$, e avevo in mente di farlo anche con $c$ (ma non so come) in modo da far venire la funzione da derivare tutta in termini di $h$ e $x$, ho provato con carnot, con il teorema dei seni, boh non so più dove andare a pescare...
qualcuno potrebbe darmi qualche indicazione? ringrazio molto.
il mio approccio: detti $b$ e $c$ i lati che comprendono l'angolo $x$ e $h$ l'altezza relativa al lato $c$ (che ho messo come base), ho tre relazioni: $x="costante"$; $"AREA"=(h*c)/2="costante"$; $c^2+b^2=y$, e quest'ultima è la funzione da minimizzare.
e mò? ho sostituito $b$ con $b=h/sinx$, e avevo in mente di farlo anche con $c$ (ma non so come) in modo da far venire la funzione da derivare tutta in termini di $h$ e $x$, ho provato con carnot, con il teorema dei seni, boh non so più dove andare a pescare...
qualcuno potrebbe darmi qualche indicazione? ringrazio molto.
Risposte
Se ho capito bene $S$ e $x$ sono costanti, quindi l'area si scrive come: $S = \frac{1}{2} ab \sin(x)$. Posto $a=y$ si ha $b = \frac{2S}{y \sin(x)}$.
La somma dei quadrati dei lati si scrive come:
$y^2 + (\frac{2S}{y \sin(x)})^2$
Questa è una funzione in $y$, per minimizzarla calcoli la derivata e la azzeri, come si fa in tutte le funzioni. Ricorda che la limitazione geometrica è $y>0$.
La somma dei quadrati dei lati si scrive come:
$y^2 + (\frac{2S}{y \sin(x)})^2$
Questa è una funzione in $y$, per minimizzarla calcoli la derivata e la azzeri, come si fa in tutte le funzioni. Ricorda che la limitazione geometrica è $y>0$.
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