Triangoli simili
Ho un dubbio riguardante i triangoli simili. L'immagine a cui faccio riferimento è sotto:
del triangolo ABC conosco i due cateti e l'ipotenusa, del secondo triangolo conosco solo l'ipotenusa. Posso dire che i triangoli sono simili e se sì perchè?
del triangolo ABC conosco i due cateti e l'ipotenusa, del secondo triangolo conosco solo l'ipotenusa. Posso dire che i triangoli sono simili e se sì perchè?
Risposte
No, non puoi: ci sono infiniti triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa (tutti quelli in cui un cateto è compreso fra zero e l'ipotenusa) ed in generale non sono simili ad un triangolo dato.
La figura che posti è un esempio di triangoli rettangoli NON simili: basta contare i quadretti per dire che $AB=2*DE$ e $AC!=2*DF$, quindi i lati non sono in proporzione.
La figura che posti è un esempio di triangoli rettangoli NON simili: basta contare i quadretti per dire che $AB=2*DE$ e $AC!=2*DF$, quindi i lati non sono in proporzione.
Ma indipendentemente dai quadretti, in generale quando posso dire che due triangoli hanno i lati in proporzione?
Voglio dire: se ho due triangoli A e B, conosco cateti e ipotenusa del trianglo A ma conosco solo l'ipotenusa del triangolo B. Come posso sapere se sono simili?
"olegfresi":
Ma indipendentemente dai quadretti, in generale quando posso dire che due triangoli hanno i lati in proporzione?
Puoi dirlo nei seguenti casi:
1) Quando lo sai. Ad esempio, dato un triangolo di lati $3,4,5$, ha i lati in proporzione il triangolo di lati $15,20,25$ (ho moltiplicato tutti i lati per 5) oppure quello di lati $3/2,2,5/2$ (ho diviso per 2).
2) Quando la conoscenza degli angoli permette di applicare qualche criterio di similitudine. Ad esempio, con triangoli rettangoli aventi un angolo acuto uguale.
Il problema nasce da un esercizio di fisica, in cui c'è un triangolo rettangolo di cateti $3,4$ e ipotenusa $5$. Poi c'è un altro triangolo che ha ipotenusa $4,3*10^-10$ e i cateti non noti. Mi hanno detto che i due triangoli sono simili perchè hanno i lati in proporzione, ma non ho capito in che modo. Se vuoi capire meglio questo è il link al thread: viewtopic.php?f=19&t=193552
La forza esercitata su $Q_2$ non credo ti dia problemi: è la somma vettoriale di due forze perpendicolari fra loro e la calcoli col teorema di Pitagora.
In quanto segue, uso le parole orizzontale e verticale riferendomi al disegno postato.
Per la forza esercitata su $Q_1$ devi calcolare le componenti orizzontale e verticale delle due forze; sommi (o sottrai, dipende dai casi) fra loro le componenti orizzontali e fra loro quelle verticali, poi applichi Pitagora. Vediamo le cose più in dettaglio.
La forza esercitata da $Q_2$ è tutta verticale e non occorre scomporla; quella esercitata da $Q_3$ è invece obliqua e devi scomporla nelle due direzioni, disegnando il triangolo che lo fa. Questo triangolo ha i lati paralleli (e quindi gli angoli uguali) a quelli del triangolo dato ed un criterio di similitudine dice che due triangoli con angoli uguali sono simili, e quindi hanno i lati in proporzione.
In quanto segue, uso le parole orizzontale e verticale riferendomi al disegno postato.
Per la forza esercitata su $Q_1$ devi calcolare le componenti orizzontale e verticale delle due forze; sommi (o sottrai, dipende dai casi) fra loro le componenti orizzontali e fra loro quelle verticali, poi applichi Pitagora. Vediamo le cose più in dettaglio.
La forza esercitata da $Q_2$ è tutta verticale e non occorre scomporla; quella esercitata da $Q_3$ è invece obliqua e devi scomporla nelle due direzioni, disegnando il triangolo che lo fa. Questo triangolo ha i lati paralleli (e quindi gli angoli uguali) a quelli del triangolo dato ed un criterio di similitudine dice che due triangoli con angoli uguali sono simili, e quindi hanno i lati in proporzione.
Ok, allora mi soffermo su una cosa: in che senso i lati sono paralleli (rispetto a cosa?) e perchè se sono paralleli allora segue che sono uguali?
Il triangolo disegnato per decomporre la forza ha un lato orizzontale e quindi parallelo a $b$; ha anche un lato verticale e quindi parallelo ad $a$.
Per la seconda domanda, un teorema affermava che, date due rette parallele tagliate da una trasversale, gli angoli corrispondenti sono uguali, gli angoli alterni... eccetera eccetera; sarebbe più giusto parlare non di un solo teorema ma di un insieme di teoremi. Come conseguenza di questi teoremi, si può dimostrare che due angoli sono uguali se hanno i lati paralleli e sono entrambi acuti o entrambi ottusi (o entrambi retti, ma se sai questo non ti servono dimostrazioni).
Per la seconda domanda, un teorema affermava che, date due rette parallele tagliate da una trasversale, gli angoli corrispondenti sono uguali, gli angoli alterni... eccetera eccetera; sarebbe più giusto parlare non di un solo teorema ma di un insieme di teoremi. Come conseguenza di questi teoremi, si può dimostrare che due angoli sono uguali se hanno i lati paralleli e sono entrambi acuti o entrambi ottusi (o entrambi retti, ma se sai questo non ti servono dimostrazioni).
Ok, quindi posso dire che l'angolo acuto del triangolo piccolo è congruente all'angolo acuto del triangolo grande perchè sono formati da lati che posso considerarsi rette parallele tagliate da trasversale, ho capito bene?
Sì, hai capito bene: la trasversale è quella su cui stanno le due ipotenuse.
Per inciso, ho visto in ritardo che ti ho parlato solo del parallelismo fra i cateti (che, da solo, non basta); avrei dovuto aggiungere che le ipotenuse sono parallele fra loro perché giacenti su una stessa retta.
Per inciso, ho visto in ritardo che ti ho parlato solo del parallelismo fra i cateti (che, da solo, non basta); avrei dovuto aggiungere che le ipotenuse sono parallele fra loro perché giacenti su una stessa retta.
Perfetto, grazie mille per la spiegazione!
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