Triangoli rettangoli simili

[Ellihca]

Buon Giorno,
Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti di 8 e 6 cm. Sull'ipotenusa fisso un punto P e faccio passare una perpendicolare ottenendo un triangolo (rettangolo) e un quadrilatero. Il triangolo è 1/3 del quadrilatero. Devo trovare il segmento AP e BP sull'ipotenusa.
Io ho svolto così: il triangolo BPP' (p' punto di intersezione della perpend. all'ipotenusa sul cateto) è simile a ABC. BPP' ha area 6, ABC 24 (il quadrilatero 18). Il rapporto di proporz. tra triangoli simili è $S/S' =k^2$; per cui $k=1/2$. Quindi PP' sarà $6/2=3$; BP=4. A me sembra vada bene, però l'eserciziario da come soluzione $AP=sqrt(48);
Grazie in anticipo a chi mi da una mano

Ciao !

[adaBTTLS1]

la proporzione trovata da te è corretta, però non puoi scrivere $AP=3, PB=4$ anche perché $AB=10$.
ci sono due soluzioni compatibili, in quanto le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misurano $3.6>3=1/2*6, 6.4>4=1/2*8$.
in base a come hai descritto il problema dovresti quindi avere $AP_1=3, P_1B=7, AP_2=6, P_2B=4$.
spero sia chiaro. sei cert* che l'ipotenusa sia AB ?

[Ellihca]

grazie per la risposta; scusami, ma ho fatto un po di confusione con le lettere nella descrizione: ABC è il triangolo di partenza (rettangolo); AB è l'ipotenusa (10); CA è un cateto (6); BC è l'altro cateto(8). P è un punto su AB, tale per cui, la perpendicolare che passa in P (e che incontra il cateto BC in P') divide ABC in un triangolo (BPP') e in un quadrilatero (APP'C). Il triangolo è $1/3$ del quadrilatero.
ABC è simile a PBP' (hanno entrambi un angolo retto, e l'angolo in B in comune). Se PBP' è $1/3$ APP'C, PBP' è $1/4$ di ABC (6). Per cui $PB=1/2BC$; $PP'=1/2AC$; $PB=4$;$AP=6$ essendo $AB=10$.
Il libro però da come risultato $AP=sqrt(48)$ ...

[adaBTTLS1]

per me hai ragione.
ti posso dire che $AP'=sqrt45=3sqrt5, CP=12/5sqrt5$, ma il problema, se ha questa descrizione, ha anche questi risultati. ...