Triangoli rettangoli

[User239]

Se volessi ricavare $a$ conoscendo solo $b$ e l'angolo $beta$, dalla trigonometria so che un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al cateto cercato, e quindi $a=b/tanbeta$

Su un libro però ho notato che viene utilizzata la formula $a=b/sinbeta $ . Non capisco da dove derivi ma funziona ugualmente
Grazie

[axpgn]

Scritta così non può "funzionare ugualmente" … mostraci cosa fa il libro …

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ciao probabilmente il libro nomina diversamente i lati del triangolo, quello che tu chiami \( c \) probabilmente il libro lo chiama \( a \) e viceversa. Infatti per il teorema del seno hai (uso il nome che hai dato te agli angoli e ai lati!)
\[ \frac{c}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \gamma} \]
Ora conosci \( b \) e conosci \( \beta \), ma conosci anche un'altro angolo, quale? Riesci dunque a ricavare anche il terzo angolo?

[User239]

"3m0o":Ciao probabilmente il libro nomina diversamente i lati del triangolo, quello che tu chiami \( c \) probabilmente il libro lo chiama \( a \) e viceversa. Infatti per il teorema del seno hai (uso il nome che hai dato te agli angoli e ai lati!)
\[ \frac{c}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \gamma} \]
Ora conosci \( b \) e conosci \( \beta \), ma conosci anche un'altro angolo, quale? Riesci dunque a ricavare anche il terzo angolo?

Ovviamente conosco $alpha$ e quindi $gamma=180-alpha-beta$

Poi il libro non è di trigonometria ma semplicemente applica la formula suddetta per ricavare la distanza(a) da un oggetto conoscendo l'angolo compreso fra la sua base e la sua punta($beta$) e la sua altezza(b).

La formula funziona ma non per tutti i valori:
$a=b/sinbeta$
$a=b/tanbeta$

Ponendo $b=10$ e $beta$=0°05'
a=6875.48
a=6875.49

Ponendo $b=10$ e $beta$=45°
a=14.14
a=b

Ecco perchè volevo saperne di più....

[axpgn]

Ma non funziona MAI usata così cioè se in entrambi i casi i simboli rappresentano i medesimi oggetti (come sembra da te fatto)
Quello che ti "frega" è il fatto che per angoli "piccoli" il seno e la tangente di un angolo sono quasi uguali (e più l'angolo è piccolo, più sono uguali)

[User239]

Eh avevo iniziato a notarlo facendo delle prove hahah. Però ancora non capisco perchè si ostinino ad impiegare quella formula sebbene quella corretta(o perlomeno da come so io conoscendo i teoremi sui triangoli rettangoli) sarebbe con la tangente

[axpgn]

Bisognerebbe conoscere il contesto …

[User239]

"axpgn":Bisognerebbe conoscere il contesto …

Più che il contesto io vorrei capire come l'hanno tirata fuori

[axpgn]

Conoscendo il contesto magari uno si può fare un'idea …
Tanto per fare un esempio, "angoli piccoli" saltano fuori quando si parla di "pendolo" …

[User239]

Navigazione costiera, determinazione del punto nave conoscendo solo l'altezza di un punto sulla costa e l'angolo compreso fra la sua base e la sua punta. Ovviamente l'angolo non sarà mai grande....credo che si possa raggiungere al massimo 1° . Ma perchè usare il senooo

[axpgn]

Vedi che il contesto serve?
Se l'angolo è minore di un grado la differenza tra il seno e la tangente è minore di due su diecimila.
Perché il seno? Perché probabilmente in quel caso è più "facile" avere sottomano le lunghezze dei lati per calcolare il seno che i lati per calcolare la tangente …

[Bokonon]

E' proprio come dice Alex.
$tan(beta)=sin(beta)/cos(beta)$ quando l'angolo è molto piccolo allora $beta->0$ e $cos(beta)->1$
Quindi $tan(beta)~sin(beta)$
Sul perchè nell'era digitale trovino importante approssimare le quantità per poi guardare comunque la tabella del seno non so che dirti.

[axpgn]

Forse perché hanno solo quelle (non hanno bisogno di batterie )

[User239]

"Bokonon":E' proprio come dice Alex

Grazie mille, non ci stavo proprio pensando a quella relazione!

"axpgn":Forse perché hanno solo quelle (non hanno bisogno di batterie )

Oh che cattivo.... nell'era digitale usiamo GPS e RADAR ma è sempre bene avere sottomano qualche strumento rudimentale per il controllo

[Bokonon]

"User239":
Oh che cattivo.... nell'era digitale usiamo GPS e RADAR ma è sempre bene avere sottomano qualche strumento rudimentale per il controllo

Vero. Una bella carta stellare e via!

[axpgn]

Non sono cattivo: è vero o no che funzionano senza batterie?

[StellaMartensitica]

"User239":Credo che si possa raggiungere al massimo 1° . Ma perchè usare il senooo

In realtà né la tua domanda né la laconica asserzione di axpgn sono del tutto bizantine a mio avviso.

Se tu lavorassi in radianti potresti direttamente approssimare sia $sin(x)$ che $tg(x)$ con, semplicemente $x$.
La spiegazione del perché usi il seno credo sia dovuta ad un fatto di praticità, al fine di leggere il valore direttamente sulle tavole che potresti avere a disposizione per non dover fare il conto con le tavole logaritmiche (dovresti moltiplicare per $3,14$ e dividere per $180°$)
Questo perché, come ti ha scritto Bokonon $tg(x)~sen(x)~x, x->0$ Anche se non so se avete fatto già gli infinitesimi.


Immagino che i testi che usi derivino da vecchie tradizioni didattiche legate all'impiego delle tavole logaritmo-goniometriche. Se alla fine del libro trovi una tabella con le mantisse a 4 cifre allora è senz'altro così.
Resta il fatto che i regoli calcolatori (non quelli più piccini per gli ingegneri civili che lo tenevano in taschino mentre in giro per il cantiere) normalmente hanno anche la scala con le tangenti degli angoli.
Nondimeno I regoli normalmente ti danno i valori della tangente per angoli dai $5°$ ai $85°$ (per ovvi motivi).

Ti mando un'immagine tratta dal depliant informativo di un mio regolo organizzazione Darmstadt che ti fa capire quali fossero le problematiche nell'età del regolo con la tabella con le diverse approssimazioni utilizzabili per calcolare le funzioni goniometriche di angoli piccoli come nel tuo caso.


[ot]




Scusa se ti mando così barbarescamente le foto e non gli scan, tra l'altro con un blocco note di quelli che regalano in giro per le aziende sotto.[/ot]

L'osservazione di axpgn non è poi campata per aria perché alcuni regoli aeronautici hanno funzioni molto specifiche,questo ed altri sono prodotti tutt'oggi per esempio. Lo trovi su amazon. Immagino anche in campo nautico ci siano ancora certi ordigni in circolazione.