Triangoli qualunque

[Francesco931]

Sia $AI$ la bisettrice dell'angolo in $A$ del triangolo $ABC$ . Dimostrare che $(BI)/(IC)=(AB)/(AC)$
Qualche suggerimento?

[adaBTTLS1]

è il contenuto del teorema della bisettrice.
prolunga CA dalla parte di A, manda da B la parallela ad AI e chiama D il punto d'intersezione con la retta AC.
il triangolo ABD è isoscele ...
immagina anche una parallela ad AI passante per C ...
allora, per Talete ...

prova e facci sapere. ciao.

[Francesco931]

Possiamo dunque dire che $(AC)/(AD)/(IC)/(IB)$
Se il triangolo $ADB$ è isoscele allora $AD=AB$ e quindi si ha $(AC)/(AB)/(IC)/(IB)$
Avevo pensato di fare la costruzione che mi hai detto tu,e avevo una vaga idea di applicare Talete...ma non capisco perchè il triangolo $ADB$ è isoscele...mi potresti spiegare perchè?
grazie per la risposta,comunque!

[adaBTTLS1]

prego!

$hat(IAB) cong hat(ABD)$ perché angoli alterni interni ...
inoltre $hat(DAB)$ è adiacente ad un angolo doppio dell'angolo $hat(ABD)$, dunque $hat(ADB)$, dovendo essere supplementare alla somma degli altri due angoli del triangolo ADB, risulta congruente ad $hat(ABD)$. spero sia chiaro. facci sapere.
ciao.

[Francesco931]

Chiaro!
Ora che ci penso però possiamo semplicemente dire che $C\hat AI~=A\hat DB$ perchè angoli corrispondenti e $I\hat AB~=A\hat BD$ perchè alterni interni.
Dato che $C\hat AI~=I\hat AB$ possiamo dire che $A\hat DB~=A\hat BD$ e quindi il triangolo $ADB$ è isoscele.

Grazie dell'aiuto!

[adaBTTLS1]

prego!
certo che si può scrivere in maniera più semplice!