Traslazioni

[giusyheart]

1-L'immagine di una traslazione del segmento di estremi A(5,-3) B(-1;1) è il segmento A'B' il cui punto medio è M'(-2,1); scrivere le equazioni della traslazione.


2- Data la retta r di equazione 2x-y+5=0, determinare la componente b del vettore v= (1, b) in modo che l'immagine di r nella traslazione di vettore v intersichi la circonferenza di equazione x^2+y^2=5.


Please!

[ALFONSO1995]

Ecco a te il secondo esercizio:

Praticamente il punto (x0; y0) viene SPOSTATO (traslato) in ( x0 + 1 ; y0 + b)
allora noi abbiamo la retta : y = 2x + 5
consideriamo il punto di coordinate ( 1 ; 7 ) ..... esso diventa ( 2 ; 7+b)
In pratica abbiamo queste FORMULE di TRASLAZIONE :

x = X - 1
y = Y - b

allora la nostra retta diventa : 2(X-1) - (Y-b) +5 = 0

2X - 2 - Y + b + 5 = 0

2X - Y + (b +3) = 0


A questo punto ... rimettiamo le X ed Y MINUSCOLE... e mettiamola in forma esplicita:
y = 2x + (b+3)

e la metti a SISTEMA con la circonferenza, sostituendo il valore di y.
x² + [ 2x + (b+3) ]² - 5 = 0

Sviluppando e ordinando... è una EQUAZIONE di secondo grado in x... che mi dà le 2 ascisse dei due punti di INTERSEZIONE.

Affinchè queste soluzioni esistano e siano REALI... porrai DELTA >= 0

otterrai delle LIMITAZIONI ai valori di b... che sono le condizioni che richiede il problema.

[Fonti: http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111122092726AAfVmEr ]

Per il primo esercizio non so come aiutarti.

Ciaooo :)

[bimbozza]

1) per prima cosa bisogna trovare M, punto medio di AB:

[math]M= (\frac{5-1}{2}, \frac{-3+1}{2})=(2, -1)[/math]

Una traslazione è un'operazione definita come:

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
x'=x+a\\
y'=y+b
\end{array} \right.
[/math]

dove x' e y' rappresentano le coordinate finali, x e y quelle iniziali mentre a e b lo spostamento

A questo punto abbiamo un punto iniziale e uno finale e possiamo ricavare a e b

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
-2=2+a\\
1=-1+b
\end{array} \right.
[/math]

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
a=-4\\
b=2
\end{array} \right.
[/math]

Ne segue che le equazioni cercate sono

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
x'=x-4\\
y'=y+2
\end{array} \right.
[/math]

2) Le coordinate del vettore v sono le componenti a e b della nostra traslazione.

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
x'=x+a\\
y'=y+b
\end{array} \right.
[/math]

inseriamo quindi v nel sistema

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
x'=x+1\\
y'=y+b
\end{array} \right.
[/math]

ci ricaviamo x e y

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
x=x'-1\\
y=y'-b
\end{array} \right.
[/math]

e andiamo a sostituirle nell'equazione della retta

[math]2x-y+5=0[/math]

[math]2(x'-1)-(y'-b)+5=0[/math]

[math]2x'-2-y'+b+5=0[/math]

[math]2x'-y'+b+3=0[/math]

adesso mettiamo in sistema l'equazione trovata con quella della circonferenza:

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
2x-y+b+3=0\\
x^2+y^2=5
\end{array} \right.
[/math]

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
y=2x+b+3\\
x^2+(2x+b+3)^2=5
\end{array} \right.
[/math]

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
y=2x+b+3\\
x^2+4x^2+b^2+9+4bx+12x+6b=5
\end{array} \right.
[/math]

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
y=2x+b+3\\
5x^2+4x(b+3)+b^2+4+6b=0
\end{array} \right.
[/math]

per avere un'intersezione tra la retta e la circonferenza, il discriminante dell'equazione di secondo grado trovata deve essere >0

[math]\Delta= (2b+6)^2-5*(b^2+4+6b)= 4b^2+36+24b-5b^2-20-30b[/math]

[math]\Delta= -b^2-6b+16>0[/math]

che ha soluzione [math]-8