Traslazioni 2
1)
Sono date le due circonferenze y e y' di rispettive equazioni x^2+y^2+5x-3y+1=0 e x^2+y^2-x-+y-7=0. si determini una traslazione di vettore v che trasformi y in y' e si verifichi quindi che il loro asse radicale è perpendicolare alla direzione del vettore v.
2)
Data l'iperbole y di equazione x^2-2y^2=2, si scriva l'equazione dell'iperbole che si ottiene sottoponendola a una traslazione che porti il centro a coincidere con il vertice di ascissa positiva y.
Sono date le due circonferenze y e y' di rispettive equazioni x^2+y^2+5x-3y+1=0 e x^2+y^2-x-+y-7=0. si determini una traslazione di vettore v che trasformi y in y' e si verifichi quindi che il loro asse radicale è perpendicolare alla direzione del vettore v.
2)
Data l'iperbole y di equazione x^2-2y^2=2, si scriva l'equazione dell'iperbole che si ottiene sottoponendola a una traslazione che porti il centro a coincidere con il vertice di ascissa positiva y.
Risposte
1) la prima circonferenza ha centro in
a questo punto hai un punto nelle suo coordinate iniziali e finali e possiamo procedere come nell'esercizio del post precedente
quindi
ne segue che la traslazione cercata è
2)non essendoci termini in x e y di primo grado,il centro dell'iperbole coincide con l'origine degli assi.
Per calcolare il vertice ci serve l'equazione in forma canonica:
Ci vertici dell'iperbole sono
Adesso hai la coordinata iniziale e quella finale e quindi possiamo trovare la traslazione operando come al solito:
quindi la traslazione cercata è
[math]C_1=(-5/2, 3/2)[/math]
la seconda in [math]C_2=(+1/2,-1/2)[/math]
a questo punto hai un punto nelle suo coordinate iniziali e finali e possiamo procedere come nell'esercizio del post precedente
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+a\\
y'=y+b
\end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+a\\
y'=y+b
\end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
1/2=-5/2+a\\
-1/2=3/2+b
\end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
1/2=-5/2+a\\
-1/2=3/2+b
\end{array} \right.
[/math]
quindi
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
a=3\\
b=-2 \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
a=3\\
b=-2 \end{array} \right.
[/math]
ne segue che la traslazione cercata è
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+3\\
y'=y-2 \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+3\\
y'=y-2 \end{array} \right.
[/math]
2)non essendoci termini in x e y di primo grado,il centro dell'iperbole coincide con l'origine degli assi.
Per calcolare il vertice ci serve l'equazione in forma canonica:
[math]\frac{x^2}{2}-y^2=1[/math]
Ci vertici dell'iperbole sono
[math]V_1=(- \sqrt{2},0)[/math]
e [math]V_2=(\sqrt{2},0)[/math]
quella che cerchiamo è quella con ascissa positiva quindi [math]V_2[/math]
Adesso hai la coordinata iniziale e quella finale e quindi possiamo trovare la traslazione operando come al solito:
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+a\\
y'=y+b \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+a\\
y'=y+b \end{array} \right.
[/math]
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
\sqrt{2}=0+a\\
0=0+b \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
\sqrt{2}=0+a\\
0=0+b \end{array} \right.
[/math]
quindi la traslazione cercata è
[math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+ \sqrt{2}\\
y'=y \end{array} \right.
[/math]
\left\{ \begin{array}{c}
x'=x+ \sqrt{2}\\
y'=y \end{array} \right.
[/math]
Grazie :)
Volevo chiederti una cosa: nel secondo esercizio x'= x + rad2 e y' = y dovrei sostituirli nell'iperbole x^2-2y^2=2 per avere l'altra iperbole, giuato? xD
Volevo chiederti una cosa: nel secondo esercizio x'= x + rad2 e y' = y dovrei sostituirli nell'iperbole x^2-2y^2=2 per avere l'altra iperbole, giuato? xD
Scusa, ho saltato quel passaggio... comunque sì, ti ricavi x e y dall'equazione della traslazione (x=x'- rad2 , y=y') le inserisci nell'equazione e trovi la nuova iperbole...
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