Trasformazioni geometriche

[NoRe1]

Cambiamo problemi! almeno per ora

Abbiamo il seguente sistema ( non ho ancora cercato bene come può scriversi su questo forum in formule )

$ x_1$=x-y+3
$y_1$=2x-2y+6

Verificare che la trasformazione sia una trasformazione geomtrica-...

Ho provato a trovare x e y in funzione di $x_1$ e $y_1$ ma ad un certo punto trovo l'equaziione $y_1$=$2x_1$ ( questa equazione è soddisfatta per ogni coppia (x;y) giusto? )
e non riesco ad andare avanti...

Mi suggerisce qualcosa e capisco che non è una trasformazione geometrica, ma non riesco a spiegarmelo...

Ho fatto un paio di ipotesi, ma non so se possono essere giuste e non riesco a spiegarle...

[giammaria2]

Infatti non è una trasformazione; per esserlo occorre poter ricavare $x,y$ in funzione di $x_1,y_1$. Se hai familiarità con i determinanti, possiamo anche dire che occorre che il determinante dei coefficienti sia diverso da zero, mentre nel tuo caso si ha

$D=|(1,-1),(2,-2)|=-2+2=0$

Andando alla guida per scrivere le formule (rimando in alto nel riquadro rosa) puoi vedere un esempio di come scrivere un sistema; un semplice miglioramento delle tue formule si ha mettendo il segno del dollaro non dopo l'indice 1 ma alla fine di ogni riga.

[NoRe1]

"giammaria":Infatti non è una trasformazione; per esserlo occorre poter ricavare $x,y$ in funzione di $x_1,y_1$. Se hai familiarità con i determinanti, possiamo anche dire che occorre che il determinante dei coefficienti sia diverso da zero, mentre nel tuo caso si ha

$D=|(1,-1),(2,-2)|=-2+2=0$

Andando alla guida per scrivere le formule (rimando in alto nel riquadro rosa) puoi vedere un esempio di come scrivere un sistema; un semplice miglioramento delle tue formule si ha mettendo il segno del dollaro non dopo l'indice 1 ma alla fine di ogni riga.

Sì, vorrei capire però perchè se non è esplicitabile, allora non è una trasformazione...( cioè la relazione inversa non è una funzione... )

Quando ho una funzione 'singola' ( che brutto termine) allora mi è chiaro, ma in questo caso non tanto...




Praticamente l'equazione è indeterminata nelle incognite x;y ? giusto? è questa la spiegazione?

[giammaria2]

Il collegamento fra invertibilità di una funzione e trasformazioni mi giunge nuovo ma effettivamente credo si possa fare. Per avere una trasformazione occorre che ad ogni punto del piano $(x,y)$ ne corrisponda uno del piano $(x_1,y_1)$ e viceversa (con qualche possibile eccezione, come studierai all'università per trasformazioni più complesse): ne consegue che
da ${(x_1=f(x;y)),( y_1=g(x;y)):}$ deve potersi ricavare ${(x=f_1(x_1;y_1)),(y=g_1(x_1;y_1)):}$

Nel caso del tuo esercizio, ogni punto del piano $(x,y)$ corrisponde ad un punto della retta $y_1=2x_1$; quando vuoi passare dal piano con indici a quello senza, scopri che i punti di quella retta hanno infiniti corrispondenti, mentre quelli fuori dalla retta non ne hanno nessuno: non è una trasformazione.

[NoRe1]

Quindi $AA (x;y) $ corrisponde uno e un sol punto $(x_1;2x_1)$ ma la relazione inversa non è una funzione.
Infatti il sistema è detrminato rispetto alle variabili $x_1$ e $y_1$ mentre è indeterminato rispetto alle variabili x e y... Giusto? o.O

[giammaria2]

Direi di sì.