Trasformazione Lineare ( riflessione)

[mariottini]

Ciao ragazzi, l'esercizio mi chiede di determinare la trasformazione lineare di $R^2 su R^2$ di riflessione rispetto alla retta $X+Y-2=0$
Io proseguo nel seguente modo:
trovo un punto A che appartiene all' asse di riflessione A(2,0), applico la traslazione che porta il punto A in O, quindi ottengo la nuova eq. dell'asse traslato che passa per l'origine e che ha eq. x+y=0. A questo punto applico la riflessione assiale calcolando la matrice di riflessione rispetto alla retta traslata che è il suo nuovo asse di riflessione. Come ultimo passaggio riporto il punto nella posizione iniziale, facendo $+ ( ( 2 ),( 0 ) )$ che sono i punti iniziali della retta $X+Y-2=0$

e quindi ottengo:

$ ( ( 2 ),( 0 ) ) + ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) * I ( ( v1 ),( v2 ) ) + ( ( -2 ),( 0 ) ) = ( ( x),( y) )$[/url][/code][/quote][/spoiler][/asvg][/chesspos][/chessgame][/pgn][/tex]

bene a questo punto non so come continuare...nel mio libro l'esercizio svolto riporta come soluzione finale:
$ ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) ( ( v1 ),( v2 ) )+( ( 2 ),( 2 ) )=( ( x),( y) )$

Ma io non riesco proprio a capire che calcoli ha eseguito per arrivare a tale risultato. Cortesemente se qualcuno di voi lo capisce può spiegarmelo?
Grazie!

[Quinzio]

Se fai la dimostrazione passo per passo troviamo l'errore.

[mariottini]

cercherò di essere il più chiara possibile. Questo è un esercizio svolto...

Determinare la trasformazione lineare di di riflessione rispetto alla retta $x+y-2=0$
Il punto $A=(2,0)$ appartiene all'asse di riflessione: la traslazione che porta A in O è la
$I( ( t ),( -t+2 ) )+( ( -2 ),( 0 ) )=( ( x' ),( y' ) )$
questa trasforma i punti dell'asse come segue:
$I( ( t ),( -t+2 ) )+( ( -2 ),( 0 ) )= ( ( t-2 ),( -t+2 ) )$
L'asse traslato in forma cartesiana ha equazione $x+y=0$ , la matrice di riflessione è dunque $A=( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) )$
E si avrà quindi:

$ ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) I( ( v1 ),( v2 ) )+( ( -2 ),(0 ) )=( ( x''),( y'') )$
Applicando la traslazione opposta a quella iniziale si ottiene

$ ( ( 2 ),( 0 ) ) + ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) * I ( ( v1 ),( v2 ) ) + ( ( -2 ),( 0 ) ) = ( ( x),( y) )$

Adesso si dovrebbero eseguire i vari calcoli con le matrici per ottenere
$ ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) ( ( v1 ),( v2 ) )+( ( 2 ),( 2 ) )=( ( x),( y) )$ come soluzione finale.

Io ho capito tutto fino a quest'ultimo passaggio.L'unica cosa che non capisco è che tipo di calcoli fa il mio libro per arrivare a scrivere la trasformazione in questa forma finale.

[cenzo1]

Penso che il problema è a chi applichi la matrice di riflessione..

Prima traslazione: $((x'),(y'))=((x),(y))+((-2),(0))$

Riflessione: $((x''),(y''))=((0,-1),(-1,0))*((x'),(y'))=((0,-1),(-1,0))*[((x),(y))+((-2),(0))]=((0,-1),(-1,0))*((x),(y))+((0,-1),(-1,0))*((-2),(0))=((0,-1),(-1,0))*((x),(y))+((0),(2))$

Seconda traslazione: $((x'''),(y'''))=((x''),(y''))+((2),(0))=((0,-1),(-1,0))*((x),(y))+((0),(2))+((2),(0))=((0,-1),(-1,0))*((x),(y))+((2),(2))$