Trapezio rettangolo che circoscrive una circonferenza
Ciao ragazzi, ho questo tipo di problema:
ho un trapezio rettangolo con inscritta una circonferenza. Conosco il raggio $r$ e so che il trapezio ha perimetro $49/5r$. Mi si chiede di trovare la misura delle 2 basi.
Allora, denominando la base maggiore come [tex]AB[/tex] e la base minore [tex]CD[/tex], conosciamo [tex]AC[/tex] che è [tex]2r[/tex]; sappiamo anche che il raggio è l'altezza del triangolo rettangolo che ha come base il lato obliquo [tex]DB[/tex] e come cateti i segmenti che partono del centro [tex]O[/tex] della circonferenza e terminano nei vertici del trapezio [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]; chiamiamo anche [tex]H[/tex] il punto in cui cade l'altezza del triangolo appena considerato, quindi l'altezza è [tex]OH[/tex]. (Fareste meglio a disegnarlo)
Io ho tentanto di usare il 2° teorema di euclide ma non conosco abbastanza dati per ora.
Inoltre, se tiro il diametro della circonferenza perpendicolarmente alle 2 basi chiamandolo [tex]LK[/tex] ([tex]L[/tex] sulla base minore e [tex]K[/tex] su quella maggiore), sappiamo che [tex]LD[/tex] e [tex]DH[/tex] sono congruenti e anche [tex]HB[/tex] e [tex]KB[/tex] lo sono.
Da qui non saprei proprio che strada intraprendere.
Attendo vostri suggerimenti. Grazie a tutti
[mod="WiZaRd"]Aggiunti i tag TeX: le formule vanno sempre scritte come si deve, non una sì e dieci no.[/mod]
ho un trapezio rettangolo con inscritta una circonferenza. Conosco il raggio $r$ e so che il trapezio ha perimetro $49/5r$. Mi si chiede di trovare la misura delle 2 basi.
Allora, denominando la base maggiore come [tex]AB[/tex] e la base minore [tex]CD[/tex], conosciamo [tex]AC[/tex] che è [tex]2r[/tex]; sappiamo anche che il raggio è l'altezza del triangolo rettangolo che ha come base il lato obliquo [tex]DB[/tex] e come cateti i segmenti che partono del centro [tex]O[/tex] della circonferenza e terminano nei vertici del trapezio [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]; chiamiamo anche [tex]H[/tex] il punto in cui cade l'altezza del triangolo appena considerato, quindi l'altezza è [tex]OH[/tex]. (Fareste meglio a disegnarlo)
Io ho tentanto di usare il 2° teorema di euclide ma non conosco abbastanza dati per ora.
Inoltre, se tiro il diametro della circonferenza perpendicolarmente alle 2 basi chiamandolo [tex]LK[/tex] ([tex]L[/tex] sulla base minore e [tex]K[/tex] su quella maggiore), sappiamo che [tex]LD[/tex] e [tex]DH[/tex] sono congruenti e anche [tex]HB[/tex] e [tex]KB[/tex] lo sono.
Da qui non saprei proprio che strada intraprendere.
Attendo vostri suggerimenti. Grazie a tutti
[mod="WiZaRd"]Aggiunti i tag TeX: le formule vanno sempre scritte come si deve, non una sì e dieci no.[/mod]
Risposte
il perimetro (vedi bene il disegno) è $4r+2BD$. è chiaro?
Alla relazione che hai appena trovato, $bar(OH)^2=bar(BH)*bar(HD)$, dovresti accompagnare la condizione di circoscrittibilità di un quadrilatero:
la somma di due lati opposti è uguale al semiperimetro.
la somma di due lati opposti è uguale al semiperimetro.
@adaBTTLS: non mi è chiaro come hai fatto ad arrivare a quell'espressione. Potresti spiegarmelo?
@amelia: sono riuscito ad arrivare al risultato con la formula della condizione di circoscrittibilità di un quadrilatero. Ammetto che non ne ero a conoscenza, sapevo solo che la somma dei lati opposti è costante in un quadrilatero. Grazie
@amelia: sono riuscito ad arrivare al risultato con la formula della condizione di circoscrittibilità di un quadrilatero. Ammetto che non ne ero a conoscenza, sapevo solo che la somma dei lati opposti è costante in un quadrilatero. Grazie
dalla stessa proprietà che ti serve per dire che $hat(BOD)$ è retto. se chiami K, M, N i punti di tangenza con CD, AC e AB rispettivamente, $CK=CM=MA=AN=r$ e inoltre $KD=DH, NB=HB$, da cui $KD+NB=DB$. è chiaro?
Ok, chiarissimo. Grazie infinite per la spiegazione
prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo