Trapezio isoscele circoscritto ad una semicirc.
Abbiamo un trapezio isoscele circorscritto ad una semicironferenza di diametro 30 cm.
Dopo aver dimostrato che ciascun lato obbliquo è uguale alla metà della base maggiore,
calcolare il perimetro del trapezio.
La dimostrazione si fa abbastanza agevolmente, il problema del perimetro ho pensato di risolverlo calcolando con pitagora il segmento che congiunge il centro della semicirconferenza con il vertice del trapezio costituito dalla base minore ed uno dei lati obbliqui del trapezio. Tale segmento rappresenta la base del tringolo isoscele costituito da un lato obbliquo del trapezio e dalla metà della base maggiore. Qui, per similitudine, ricavo il lato obbliquo del trapezio che rappresenta, a sua volta l'ipotenusa del tringolo rettangolo che ha come base la metà del raggio.
Il perimetro viene 110. Mi sembra un po' troppo incasinato come ragionamento, qualcuno poù dirmi se è giusto oppure ha qualche idea migliore? Si potrebbe applicare qualche teorema che mi faciliti un po' la vita, ma non mi viene in mente nulla....
Aiuto!
[mod="Steven"]Titolo modificato. Era "problema..". Scegliere per il futuro un titolo più indicativo del problema, grazie.
[/mod]
Dopo aver dimostrato che ciascun lato obbliquo è uguale alla metà della base maggiore,
calcolare il perimetro del trapezio.
La dimostrazione si fa abbastanza agevolmente, il problema del perimetro ho pensato di risolverlo calcolando con pitagora il segmento che congiunge il centro della semicirconferenza con il vertice del trapezio costituito dalla base minore ed uno dei lati obbliqui del trapezio. Tale segmento rappresenta la base del tringolo isoscele costituito da un lato obbliquo del trapezio e dalla metà della base maggiore. Qui, per similitudine, ricavo il lato obbliquo del trapezio che rappresenta, a sua volta l'ipotenusa del tringolo rettangolo che ha come base la metà del raggio.
Il perimetro viene 110. Mi sembra un po' troppo incasinato come ragionamento, qualcuno poù dirmi se è giusto oppure ha qualche idea migliore? Si potrebbe applicare qualche teorema che mi faciliti un po' la vita, ma non mi viene in mente nulla....
Aiuto!
[mod="Steven"]Titolo modificato. Era "problema..". Scegliere per il futuro un titolo più indicativo del problema, grazie.
[/mod]
Risposte
OK Steven, preso dalla fretta ....
Ma nessuno che mi possa dare una mano????
Grazie.
Ma nessuno che mi possa dare una mano????
Grazie.
Chiedo ancora scusa. Mi è sfuggita un'indicazione fondamentale! La base minore del trapezio misura un terzo del diametro della semicirconferenza. Quindi 10 cm.
Chiedo venia.
Chiedo venia.
il multiposting è vietato. ti ho risposto in medie senza la nuova indicazione.
le osservazioni rimangono le stesse: è possibile solo se la base minore misura quanto il raggio (così pure i lati obliqui), nell'ipotesi che la base maggiore coincida con il diametro...
le osservazioni rimangono le stesse: è possibile solo se la base minore misura quanto il raggio (così pure i lati obliqui), nell'ipotesi che la base maggiore coincida con il diametro...
Mi scuso per il multiposting. Avevo erroneamente postato in medie...
Prendo atto dell'osservazione.
Però devo dedurre che la traccia dell'esercizio è fuorviante perchè dice: "dopo aver dimostrato che ciascun lato obbliquo è uguale alla metà della base maggiore..."
Ma allora è possibile determinare questo perimetro?
Prendo atto dell'osservazione.
Però devo dedurre che la traccia dell'esercizio è fuorviante perchè dice: "dopo aver dimostrato che ciascun lato obbliquo è uguale alla metà della base maggiore..."
Ma allora è possibile determinare questo perimetro?
se la base minore è 1/3 della base maggiore, il lato obliquo non è la metà della stessa base.
se il lato obliquo è metà della base maggiore, allora anche la base minore è la metà della base maggiore.
in entrambi i casi si può trovare il perimetro (ti ho già risposto che è uguale a 5 volte il raggio nel secondo caso).
dunque nel secondo caso il perimetro è 75 cm; nel primo caso invece il perimetro verrebbe $20(2+sqrt(3))cm$.
se il lato obliquo è metà della base maggiore, allora anche la base minore è la metà della base maggiore.
in entrambi i casi si può trovare il perimetro (ti ho già risposto che è uguale a 5 volte il raggio nel secondo caso).
dunque nel secondo caso il perimetro è 75 cm; nel primo caso invece il perimetro verrebbe $20(2+sqrt(3))cm$.
Il secondo caso è evidente. Il primo un po' meno...
Cmq il libro dà 110 cm come soluzione.
Per questo ho riformulato la domanda.
Cmq il libro dà 110 cm come soluzione.
Per questo ho riformulato la domanda.
Per ipotesi $| CD \cap \gamma | = 1 = | BC \cap \gamma |$, quindi, per un noto teorema, $\angle DCO = \angle BCO$, ma d'altronde, per ovvie ragioni di parallelismo, $\angle DCO = \angle BOC$, sicché, essendo $O$ punto medio di $AB$, risulta che i lati obliqui del trapezio $ABCD$ sono uguali alla metà della base maggiore.
Risulta $\Delta ADO \sim \Delta CDO$, con, per il Teorema di Pitagora in $\Delta DHO$, $DO=5\sqrt{10}$, sicché, messi in proporzione i lati omologhi, si ha $AO=AD=25$, per cui $2p(ABCD)=AD+BC+AB+CD=25+25+25*2+10=110$.
Risulta $\Delta ADO \sim \Delta CDO$, con, per il Teorema di Pitagora in $\Delta DHO$, $DO=5\sqrt{10}$, sicché, messi in proporzione i lati omologhi, si ha $AO=AD=25$, per cui $2p(ABCD)=AD+BC+AB+CD=25+25+25*2+10=110$.
Tutto chiaro. Usiamo il Teorema di Pitagora e mettiamo in proporzione i lati omologhi.
Forse non era tanto sbagliato il mio ragionamento.
Grazie !
Forse non era tanto sbagliato il mio ragionamento.
Grazie !
scusate, tutto quello che io ho detto si riferiva ad un trapezio inscritto, non circoscritto, ad una semicirconferenza. gli occhi cominciano a non sostenermi più...
@Anto
Prego
@adaBTTLS
Don't worry! Sapessi a me quante ne combinano i miei occhi!
Prego
@adaBTTLS
Don't worry! Sapessi a me quante ne combinano i miei occhi!
grazie per la comprensione... e la consolazione!
Si figuri Signora Moderatrice! 
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