Trapezio inscritto in una circonferenza

[Feuerbach]

Stavolta tocca al trapezio. Ragiono da tanto, ma niente.

In una circonferenza di raggio $r$ è inscritto un trapezio isoscele $ABCD$, contenente il centro O della circonferenza, di cui si conosce $barAbarB = R$ e $barCbarD =rsqrt(3)$. Calcolare l'ampiezza degli angoli del trapezio.

[G.D.5]

Innanzitutto $AO=BO=CO=DO$ perché raggi. Inoltre $AB=AO=BO$ perché $AB=R$, ove $R$ è (*) il raggio. Dunque, il triangolo $ABO$ è equilatero: $\hat{ABO}=\hat {BAO}=\hat{AOB}=60°$.
Il triangolo $CDO$ è isoscele su base $CD$; per il teorema di Carnot si ha:

$(R\sqrt{3})^2=R^2 + R^2 - 2R*R*cos(\hat{COD}) => cos(\hat{COD})=-1/2 => \COD=120°$

e quindi $\hat{DCO}= \hat{CDO} = 30°$.
I triangoli $BCO$ e $ADO$ sono entrambi isosceli e hanno i lati obliqui tra loro tutti uguali (essendo tutti raggi): dunque, sono congruenti. In virtù di questo, si ha che $hat{AOD}= hat{BOC} = 90$ (dacché $\hat{AOD} + \hat{BOC} + \hat{COD} + \hat{ABO} = 360°$ e $\hat{AOD}=\hat{BOC}$).

Infine, $\hat{CBO} = \hat{BCO} = \hat{ADO} = \hat{DAO} = 45°$ semplicemente perché tutti uguali tra loro per la congruenza tra i triangoli $ADO$ e $BCO$ e perché in un trapezio la somma degli angoli interni vale $360°$.





(*) Almeno suppongo sia così.