Topologia
se Q è un sottoinsieme di R,perchè non ha punti eserni nè interni ma ha solo punti di frontiera?????non capisco....
Risposte
Il fatto è che $QQ$ è tutto "bucherellato", anzi, sono molti più i buchi che gli elementi di $QQ$.
Quindi ogni intorno di ogni razionale ha sia elementi di $QQ$ (perché è denso) sia di $RR-QQ$.
Quindi ogni intorno di ogni razionale ha sia elementi di $QQ$ (perché è denso) sia di $RR-QQ$.
intuitivamente : sulla retta reale ci sono ,in un certo senso ,più irrazionali che razionali.
In un intorno (comunque "piccolo") di un razionale ,ci sono sempre degli irrazionali.
In un intorno (comunque "piccolo") di un razionale ,ci sono sempre degli irrazionali.
Non-intuitivamente 
Un punto interno a Q deve ammettere un intorno aperto tutto contenuto in Q. Ora, questo non è possibile perché gli aperti in R non sono numerabili, e Q è numerabile.
Un punto esterno a Q è interno al complementare di Q, quindi deve ammettere un intorno aperto contenuto del complementare di Q. Abbiamo cosi' trovato un aperto di R disgiunto da Q. Assurdo perché Q è denso, quindi interseca ogni aperto non vuoto.
I punti di frontiera di Q sono dati dalla chiusura di Q (che è R essendo Q denso) meno l'interno di Q, che è vuoto. Quindi tutti i punti di R sono di frontiera per Q.
Un punto interno a Q deve ammettere un intorno aperto tutto contenuto in Q. Ora, questo non è possibile perché gli aperti in R non sono numerabili, e Q è numerabile.
Un punto esterno a Q è interno al complementare di Q, quindi deve ammettere un intorno aperto contenuto del complementare di Q. Abbiamo cosi' trovato un aperto di R disgiunto da Q. Assurdo perché Q è denso, quindi interseca ogni aperto non vuoto.
I punti di frontiera di Q sono dati dalla chiusura di Q (che è R essendo Q denso) meno l'interno di Q, che è vuoto. Quindi tutti i punti di R sono di frontiera per Q.
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