Titubanza sulla coincidenza numeri primi
Ciao, ho 2 perplessità 
Cerco di spiegarmi bene.
1) Alessia, partendo dal numero $n$ maggiore di 10, si chiede dove può essere un numero primo $>n$, allora ricordandosi del teorema di Chebyshev, pensa che sicuramente ci sarà almeno un primo $p$ tale che $n
Allora mi chiedo (e vi chiedo) se sia possibile che $p=q$ ?
Poiché i teoremi di esistenza non ci dicono dove si trovano esattamente i primi ma solo l’intervallo in cui si possono trovare, direi di no.
L'indecisione nasce dal fatto che si tratta dello stesso intervallo in cui i calcoli sono stati eseguiti, in modo crescente (da Alessia) partendo da $n$ per giungere a $2n$ ed in modo decrescente (da Antonella), partendo da $2n$ per giungere a $n$.
2) Poi, nel caso in cui Alessia dice che c’è, per $n>10$, almeno un primo $p$ tale che $n10$, ci sono almeno due primi $m,q$ tale che $n
Penso di no ma non ne sono sicura.
Cerco di spiegarmi bene.
1) Alessia, partendo dal numero $n$ maggiore di 10, si chiede dove può essere un numero primo $>n$, allora ricordandosi del teorema di Chebyshev, pensa che sicuramente ci sarà almeno un primo $p$ tale che $n
Allora mi chiedo (e vi chiedo) se sia possibile che $p=q$ ?
Poiché i teoremi di esistenza non ci dicono dove si trovano esattamente i primi ma solo l’intervallo in cui si possono trovare, direi di no.
L'indecisione nasce dal fatto che si tratta dello stesso intervallo in cui i calcoli sono stati eseguiti, in modo crescente (da Alessia) partendo da $n$ per giungere a $2n$ ed in modo decrescente (da Antonella), partendo da $2n$ per giungere a $n$.
2) Poi, nel caso in cui Alessia dice che c’è, per $n>10$, almeno un primo $p$ tale che $n
Penso di no ma non ne sono sicura.
Risposte
Secondo me anche questo è un post da Algebra e Logica invece che da secondaria di secondo grado: te lo dico solo perché "sezione giusta" implica "risposte migliori" ai dubbi poiché non è detto che un utente di là risponda anche qui.
Provo a dare una risposta, cerco di interpretare.
1.
Suppongo $n \ge 4$, per ovvi motivi di validità.
Se parti da $n$ e arrivi a $2n$ sai che tra $n$ e $2n$ esiste un primo - lo chiamo $p$ - tale che $n
Quei due primi "esistono" e "possono essere gli stessi": però in matematica quando si parla di esistenza si intende qualcosa di molto vago e una certezza che ai fini pratici non è utile. In pratica esistono, ma nessuno garantisce che siano gli unici: dunque possono essere uguali ma anche diversi.
2.
Lo stesso caso di prima.
Pensa a $n=10$ e dunque $2n=20$.
- Bertrand/Chebyshev: tra $n$ e $2n$ c'è (almeno) un primo.
- Erdos: tra $n$ e $2n$ ci sono (almeno) due primi.
Il risultato è che di primi ce ne sono 4 - 11,13,17,19 - dunque possono essere uguali ma anche no. L'uguaglianza in una situazione del genere è una questione soggettiva che non ha utilità pratica.
In altre parole se poni 11 come primo di Bertrand tra 10 e 20, e come primi di Erdos 11 e 13 dici "oh, uno dei due è uguale all'altro": ma se ci pensi sono solo chiacchiere vuote.
Dunque in entrambi i casi sai che esistono ma nessuno ti assicura che sono gli stessi o che è lo stesso proprio perché sono teoremi del tipo "esistenza e basta" senza informazioni aggiuntive.
Se, in futuro, qualcuno dimostrasse che tra $n$ e $2n$ esistono "esattamente" tot primi, allora si possono fare identificazioni con sicurezza.
Provo a dare una risposta, cerco di interpretare.
1.
Suppongo $n \ge 4$, per ovvi motivi di validità.
Se parti da $n$ e arrivi a $2n$ sai che tra $n$ e $2n$ esiste un primo - lo chiamo $p$ - tale che $n
Quei due primi "esistono" e "possono essere gli stessi": però in matematica quando si parla di esistenza si intende qualcosa di molto vago e una certezza che ai fini pratici non è utile. In pratica esistono, ma nessuno garantisce che siano gli unici: dunque possono essere uguali ma anche diversi.
2.
Lo stesso caso di prima.
Pensa a $n=10$ e dunque $2n=20$.
- Bertrand/Chebyshev: tra $n$ e $2n$ c'è (almeno) un primo.
- Erdos: tra $n$ e $2n$ ci sono (almeno) due primi.
Il risultato è che di primi ce ne sono 4 - 11,13,17,19 - dunque possono essere uguali ma anche no. L'uguaglianza in una situazione del genere è una questione soggettiva che non ha utilità pratica.
In altre parole se poni 11 come primo di Bertrand tra 10 e 20, e come primi di Erdos 11 e 13 dici "oh, uno dei due è uguale all'altro": ma se ci pensi sono solo chiacchiere vuote.
Dunque in entrambi i casi sai che esistono ma nessuno ti assicura che sono gli stessi o che è lo stesso proprio perché sono teoremi del tipo "esistenza e basta" senza informazioni aggiuntive.
Se, in futuro, qualcuno dimostrasse che tra $n$ e $2n$ esistono "esattamente" tot primi, allora si possono fare identificazioni con sicurezza.
Grazie, sei stato molto chiaro e gentile.
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