Tipologia di integrale
Ciao a tutti, esiste una regola per il calcolo degli integrali nella forma:
$int [f(x)]^ndx$
oppure esiste solo per quelli $int [f(x)]^nf'(x)dx=[f(x)]^(n+1)/(n+1)$
??
$int [f(x)]^ndx$
oppure esiste solo per quelli $int [f(x)]^nf'(x)dx=[f(x)]^(n+1)/(n+1)$
??
Risposte
Può non essere possibile calcolare una primitiva in forma chiusa, attraverso la composizione di funzioni elementari, di $f(x)$, cioè $\int f(x)dx$, quindi...
Ma quindi praticamente, mentre OGNI funzione continua è derivabile, non tutte le funzioni sono integrabili?
Non ho mai parlato di integrabilità, ho detto che ci sono alcune funzioni, come ad esempio $e^{-x^2}$, di cui non è possibile esplicitare una primitiva in forma chiusa mediante la composizione di funzioni elementari.
Diciamo che in ogni caso è possibile ricorrere all'integrazione per parti e scrivere...
$int f^n(x)*dx= x*f^n(x)-n*int x*f^(n-1) (x)*f'(x)*dx$ (1)
... con il nuovo integrale che contiene la $f(x)$ elevata alla $n-1$. A volte un solo, passaggio è sufficiente a risolvere la cosa. A volte si può tentare un'altra integrazione per parti. A volte non si va da nessuna parte...
Un caso 'fortunato' è $f(x)= ln x$. In nessuna 'tavola di integrali' è riportato esplicitamente l'integrale indefinito $int ln^n x*dx$. Eppure se si apllica la (1) abbiamo...
$int ln^n x*dx= x*ln^n x-n*int ln^(n-1) x*dx$ (2)
In questo 'caso fortunato' pertanto con $n$ step si riesce a risolvere l'integrale in forma esplicita, cosa che lascio come esercizio ai giovani e volonterosi lettori...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int f^n(x)*dx= x*f^n(x)-n*int x*f^(n-1) (x)*f'(x)*dx$ (1)
... con il nuovo integrale che contiene la $f(x)$ elevata alla $n-1$. A volte un solo, passaggio è sufficiente a risolvere la cosa. A volte si può tentare un'altra integrazione per parti. A volte non si va da nessuna parte...
Un caso 'fortunato' è $f(x)= ln x$. In nessuna 'tavola di integrali' è riportato esplicitamente l'integrale indefinito $int ln^n x*dx$. Eppure se si apllica la (1) abbiamo...
$int ln^n x*dx= x*ln^n x-n*int ln^(n-1) x*dx$ (2)
In questo 'caso fortunato' pertanto con $n$ step si riesce a risolvere l'integrale in forma esplicita, cosa che lascio come esercizio ai giovani e volonterosi lettori...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"gygabyte017":
Ma quindi praticamente, mentre OGNI funzione continua è derivabile,
un ripassino di analisi farebbe bene...
"gygabyte017":
non tutte le funzioni sono integrabili?
spero gygabyte017 intendesse "tutte le funzioni continue"
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