Teoria disequazioni irrazionali fratte:
Salve;
Avreste dispense sulle disequazioni irrazionali fratte: ??
dell tipo :
$ f(x)/sqrtg(x)>0$ o $ sqrtf(x)/sqrt g(x)>0 $ o $ sqrtf(x)/ g(x)>0$
in alternativa una linea teorica per risolverle....perchè tra i miei appunti mi son accorto che manca questa parte ;
grazie; siete di aiutissimo
.
Avreste dispense sulle disequazioni irrazionali fratte: ??
dell tipo :
$ f(x)/sqrtg(x)>0$ o $ sqrtf(x)/sqrt g(x)>0 $ o $ sqrtf(x)/ g(x)>0$
in alternativa una linea teorica per risolverle....perchè tra i miei appunti mi son accorto che manca questa parte ;
grazie; siete di aiutissimo
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Risposte
Non credo che ci sia bisogno di una metologia apposita, ad esempio la seconda forma che hai scritto è vera quando esistono le radici e numeratore e denominatore sono $!=0$, per le altre due il problema è lo stesso, positività del radicando e contemporaneamente positività dell'altra componente, a sistema. Credo che però tu non intendessi esattamente questi, ma cose del tipo $(sqrt(f(x))+g(x))/(h(x)) >0$, come
$(sqrtx-2)/(x^2-1)>0$
Qui le cose si complicano perché, mentre il denominatore, quando non è positivo è negativo e nei punti di passaggio si annulla, il numeratore, oltre a poter essere positivo nullo o negativo, ha anche un intervallo in cui non esiste.
Il procedimento sarà:
1. condizioni di esistenza
2. positività del numeratore
3. positività del denominatore
4. grafico dei segni in cui riporti la positività, metti negativi i fattori quando non sono positivi, ma cancelli tutta l'area in cui l'esercizio non esiste.
$(sqrtx-2)/(x^2-1)>0$
Qui le cose si complicano perché, mentre il denominatore, quando non è positivo è negativo e nei punti di passaggio si annulla, il numeratore, oltre a poter essere positivo nullo o negativo, ha anche un intervallo in cui non esiste.
Il procedimento sarà:
1. condizioni di esistenza
2. positività del numeratore
3. positività del denominatore
4. grafico dei segni in cui riporti la positività, metti negativi i fattori quando non sono positivi, ma cancelli tutta l'area in cui l'esercizio non esiste.
"@melia":
la seconda forma che hai scritto è vera quando esistono le radici e il numeratore è $!=0$
forse indendevi il denominatore?
Esatto 
Grazie, correggo immediatamente.
Anche se intendevo entrambi diversi da 0 perchè il rapporto deve essere positivo non nullo.
Grazie, correggo immediatamente.
Anche se intendevo entrambi diversi da 0 perchè il rapporto deve essere positivo non nullo.
"@melia":
Non credo che ci sia bisogno di una metologia apposita, ad esempio la seconda forma che hai scritto è vera quando esistono le radici e numeratore e denominatore sono $!=0$, per le altre due il problema è lo stesso, positività del radicando e contemporaneamente positività dell'altra componente, a sistema. Credo che però tu non intendessi esattamente questi, ma cose del tipo $(sqrt(f(x))+g(x))/(h(x)) >0$, come
$(sqrtx-2)/(x^2-1)>0$
Qui le cose si complicano perché, mentre il denominatore, quando non è positivo è negativo e nei punti di passaggio si annulla, il numeratore, oltre a poter essere positivo nullo o negativo, ha anche un intervallo in cui non esiste.
Il procedimento sarà:
1. condizioni di esistenza
2. positività del numeratore
3. positività del denominatore
4. grafico dei segni in cui riporti la positività, metti negativi i fattori quando non sono positivi, ma cancelli tutta l'area in cui l'esercizio non esiste.
grazie amelia per la risposta;
per adesso intendevo proprio le tre forme sopracitate ... poi ecco avevo intenzioni di approfondire con gli altri esempi da te citati.
prima forma: $ f(x)/sqrtg(x)>0$ mettiamo caso : $ (9x+6)/sqrt(5x+3)>0$ -----------> quà cosa bisogna fare ?
Campo di esistenza della funzione radicanda . poi...
1. risolvere il numeratore
2. risolvere il denominatore <-- come^ ^ ?
Ps: non ricordo la disequazione omogenea $sqrtf(x)>0$ si risolve senza sistema semplicemente facendo scomparire la radice no ?
grazie dei chiarimenti
"mat100":
$ f(x)/sqrtg(x)>0$ o $ sqrtf(x)/sqrt g(x)>0 $ o $ sqrtf(x)/ g(x)>0$
Le prime due sono molto semplici perché il denominatore è sempre positivo, quindi moltiplichi entrambi i membri per $g(x)$. Devi comunque porre le condizioni di esistenza (il radicando deve essere maggiore di 0, se è minore la radice è impossile, se è uguale a 0 la divisione per 0 è impossibile.
"dreamager":
[quote="mat100"]
$ f(x)/sqrtg(x)>0$ o $ sqrtf(x)/sqrt g(x)>0 $ o $ sqrtf(x)/ g(x)>0$
Le prime due sono molto semplici perché il denominatore è sempre positivo, quindi moltiplichi entrambi i membri per $g(x)$. Devi comunque porre le condizioni di esistenza (il radicando deve essere maggiore di 0, se è minore la radice è impossile, se è uguale a 0 la divisione per 0 è impossibile.[/quote]
Parliamo dei primi due casi :
e nello specifico del primo :
dreamager forse sei stato contraddittorio, non è detto che è sempre positivo
appunto bisogna porre $g(x)>0$ per verificare il Dominio e quindi far si che la radice acquisti significato ,e di conseguenza il denominatore >0 .
dopo che troviamo il nostro intervallo $]a,b)$ per cui è $g(x) >0$
Io pensavo poi di unire le soluzioni del numeratore con quelle di esistenza della funzione sotto radice e finirla li
:te invece mi dici di moltiplicare per la funzione sotto radice :
provo a seguirti...
Quindi nel caso di prima :
Dominio: $g(x)>0 $ per $x>3/5$
si ha quindi:
$((9x+6) * sqrt( 5x+3) ) /(sqrt(5x+3)*sqrt(5x+3))$ che è uguale ad $((9x+6) * sqrt( 5x+3) ) /(sqrt((5x+3)^2))>0$ ma che cambia?, adesso mi ritrovo con due radici ... posso semplificare con l'esponente e far diventare
$((9x+6) * sqrt( 5x+3) ) /(5x+3)>0$ o no?
ps:
"mat100":<--?
Ps: non ricordo la disequazione omogenea $sqrtf(x)>0$ si risolve senza sistema semplicemente facendo scomparire la radice no ?
grazie dei chiarimenti
Meglio non razionalizzare, aggiungeresti ulteriori fattori.
$(9x+6)/sqrt(5x+3)>0$
condizione di esistenza della radice $x>= -3/5$, condizione di esistenza del denominatore $x!=-3/5$, quindi in generale $x> -3/5$
con queste condizioni il denominatore è sicuramente positivo, quindi si può eliminare, resta $9x+6>0$ che va messa a sistema con la condizione di esistenza.
$(9x+6)/sqrt(5x+3)>0$
condizione di esistenza della radice $x>= -3/5$, condizione di esistenza del denominatore $x!=-3/5$, quindi in generale $x> -3/5$
con queste condizioni il denominatore è sicuramente positivo, quindi si può eliminare, resta $9x+6>0$ che va messa a sistema con la condizione di esistenza.
"@melia":
Meglio non razionalizzare, aggiungeresti ulteriori fattori.
$(9x+6)/sqrt(5x+3)>0$
condizione di esistenza della radice $x>= -3/5$, condizione di esistenza del denominatore $x!=-3/5$, quindi in generale $x> -3/5$
con queste condizioni il denominatore è sicuramente positivo, quindi si può eliminare, resta $9x+6>0$ che va messa a sistema con la condizione di esistenza.
grazie amelia:
ma poi le soluzioni numeratore e radicando>0 si uniscono con la regola dei segni di cartesio????
Stessa cosa per $ sqrtf(x)/sqrtg(x) $?
quindi confermi nessun sistema per i primi due casi ?
dimmelo così me lo segno negli appunti!
Ho detto SISTEMA, quindi intersezione delle soluzioni
"@melia":
Ho detto SISTEMA, quindi intersezione delle soluzioni
ok mentre per $ sqrtf(x)/sqrtg(x)>0$
condizione di esistenza del denominatore $ g(x)>0$
e poi sistema con : $ {( f(x)>0), ( C.E. g(x)):}$ ;
Correggimi se sbaglio
a un altra cosa;
ovviamente $ sqrtf(x)/sqrtg(x)<0$ non può essere mai negativa questa funzione dato che sia al numeratore che al denominatore vi sono delle radici;
al massimo nulla giusto ?
ma io direi che forse faresti prima a trattare la disequazione in questo modo $root[2]{(f(x)/g(x))}>0 => (f(x)/g(x))>0$ la quale è una semplice disequazione razionale
"Lorin":
ma io direi che forse faresti prima a trattare la disequazione in questo modo $root[2]{(f(x)/g(x))}>0 => (f(x)/g(x))>0$ la quale è una semplice disequazione razionale
per l'ultimo caso
$sqrtf(x)/g(x)>0$ è consigliabile fare come dici sopra... o conviene con un altro metodo ?
Se hai la radice solo al numeratore, allora si tratta di una disequazione irrazionale fratta, quindi va trattata prima come una fratta e poi dipende dal caso in cui ti trovi.
"Lorin":
Se hai la radice solo al numeratore, allora si tratta di una disequazione irrazionale fratta, quindi va trattata prima come una fratta e poi dipende dal caso in cui ti trovi.
lorin, rileggi il primo post;
secondo me sono tutte e tre forme di disequazione irrazionale fratta.... o mi sbaglio...??
cmq se puoi, puoi postare in genere come si affronta la risoluzione di quest'ultimo tipo di disequazione dove vi è presente la radice solamente a numeratore... ?
grazie!
ciao!
Forse abbiamo due modi diversi di "indicare" le funzioni, cioè:
1) $sqrtf(x)/g(x)>0$ è una disequazione irrazionale fratta
2)$sqrt((f(x)/g(x)))>0$ (dove tutta la frazione sta sotto radice) è, per me, una normale disequazione irrazionale, con all'interno una funzione razionale (fratta)
Le chiamo in due modi diversi, anche perchè hanno due modi diversi di essere studiate, ti parlo in generale. Poi ci sono casi e casi.
PS
Prendi i libri di matematica (biennio-triennio) e guardati un pò la teoria in generale, li troverai spiegato tutto per bene.
1) $sqrtf(x)/g(x)>0$ è una disequazione irrazionale fratta
2)$sqrt((f(x)/g(x)))>0$ (dove tutta la frazione sta sotto radice) è, per me, una normale disequazione irrazionale, con all'interno una funzione razionale (fratta)
Le chiamo in due modi diversi, anche perchè hanno due modi diversi di essere studiate, ti parlo in generale. Poi ci sono casi e casi.
PS
Prendi i libri di matematica (biennio-triennio) e guardati un pò la teoria in generale, li troverai spiegato tutto per bene.
"Lorin":
ma io direi che forse faresti prima a trattare la disequazione in questo modo $root[2]{(f(x)/g(x))}>0 => (f(x)/g(x))>0$ la quale è una semplice disequazione razionale
Non sono d'accordo. Si tratta di due cose ben diverse.
$sqrt(f(x))/sqrt(g(x)) !=sqrt((f(x)/g(x))$
$sqrt(f(x))/sqrt(g(x))$ esiste per $\{(f(x)>=0),(g(x)>0):}$
mentre $sqrt((f(x)/g(x))$ esiste per $f(x)/g(x)>=0$
io in realtà ho messo di parlare di dominio pensavo direttamente allo svolgimento, infatti prima di fare tutti i calcoli, di solito impongo sempre le condizioni del campo di esistenza, che hai riportato giustamente tu. Chiedo scusa per la poca precisione
Il problema era che una volta risolte le condizioni di esistenza non c'è molto altro e non mi pare sia il caso di studiare una forma o l'altra, se l'esercizio esiste non è mai negativo, quindi tutto si risolve nella sua esistenza.
Mi fa piacere che siamo d'accordo.
Mi fa piacere che siamo d'accordo.
"@melia":
$sqrt(f(x))/sqrt(g(x))$ esiste per $\{(f(x)>=0),(g(x)>0):}$
stessa cosa per
$sqrtf(x)/g(x) >0$
Per $sqrt(f(x))/g(x)>0$ anche se alla fine viene un risultato simile, il ragionamento è diverso, i passaggi corretti sono
condizione di esistenza $\{(f(x)>=0 ),(g(x)!=0):}$
poi, per il segno, hai
- il numeratore sempre non negativo, se lo vuoi strettamente positivo devi porre $f(x)!=0$
- resta solo il segno di $g(x)$
Quindi puoi unire il tutto in un unico sistema $\{(f(x)>=0 ),(g(x)!=0),(f(x)!=0),(g(x)>0):}$ che possono essere riassunte nelle uniche due disequazioni $\{(f(x)>0 ),(g(x)>0):}$
Sono le stesse di prima, ma non sono le condizioni di esistenza dell'esercizio, sono la soluzione finale dell'esercizio.
condizione di esistenza $\{(f(x)>=0 ),(g(x)!=0):}$
poi, per il segno, hai
- il numeratore sempre non negativo, se lo vuoi strettamente positivo devi porre $f(x)!=0$
- resta solo il segno di $g(x)$
Quindi puoi unire il tutto in un unico sistema $\{(f(x)>=0 ),(g(x)!=0),(f(x)!=0),(g(x)>0):}$ che possono essere riassunte nelle uniche due disequazioni $\{(f(x)>0 ),(g(x)>0):}$
Sono le stesse di prima, ma non sono le condizioni di esistenza dell'esercizio, sono la soluzione finale dell'esercizio.
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