Teoremi sulle funzioni continue
Qualche dubbio per voi:
in un esercizio mi vengono presentate 10 funzioni. Mi viene chiesto quali tra loro verificano le ipotesi del teorema di Weierstrass e quelle del teorema di esistenza degli zeri, considerando l'intervallo $[-1;1]$. Fin qui, facile rispondere: quelle che verificano Weierstrass sono tutte quelle continue nell'intervallo; quelle che verificano il teorema di esistenza degli zeri devono non solo essere continue, ma anche assumere valori di segno opposto negli estremi di $[-1;1]$ .
Poi mi dice testualmente: "Alcune delle funzioni si annullano in un punto interno a $[-1;1]$ pur non essendo verificate le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri. Quali sono? Perchè non c'è contraddizione?".
Secondo il testo, queste funzioni sono $y=tg2x$ , $y=|x|$ , $y=x^2/(4x^2-1)$ . Secondo me invece rientrerebbe anche $y=log_2(x)$ poichè anche la funzione logaritmica, per $x=1$ si annulla, qualunque sia la base del logaritmo. Ho ragione? (E qui si correggerebbe il testo...)
Inoltre: perchè $tg2x$ non è continua nell'intervallo proposto? Il suo $C.E.$ a quanto mi risulta in tal caso è $x$ diverso sia da $k\pi/2$ sia da $\pi/4$.
Il teorema di esistenza degli zeri afferma che, nel caso si abbia una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ai cui estremi ci siano valori di segno opposto, esiste ALMENO un punto in cui la funzione si annulla; ma anche se le sue ipotesi non sono verificate, può capitare che la funzione si annulli lo stesso in quell'intervallo.
A quanto ho capito io, questo accade perchè il teorema degli zeri ci dice "in questo caso... esiste almeno uno zero" ma non ci dice che SOLO in questo caso abbiamo uno zero. Intanto, è esatto? E come posso esprimerlo in termini più "matematici"?
Grazie anticipatamente.
in un esercizio mi vengono presentate 10 funzioni. Mi viene chiesto quali tra loro verificano le ipotesi del teorema di Weierstrass e quelle del teorema di esistenza degli zeri, considerando l'intervallo $[-1;1]$. Fin qui, facile rispondere: quelle che verificano Weierstrass sono tutte quelle continue nell'intervallo; quelle che verificano il teorema di esistenza degli zeri devono non solo essere continue, ma anche assumere valori di segno opposto negli estremi di $[-1;1]$ .
Poi mi dice testualmente: "Alcune delle funzioni si annullano in un punto interno a $[-1;1]$ pur non essendo verificate le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri. Quali sono? Perchè non c'è contraddizione?".
Secondo il testo, queste funzioni sono $y=tg2x$ , $y=|x|$ , $y=x^2/(4x^2-1)$ . Secondo me invece rientrerebbe anche $y=log_2(x)$ poichè anche la funzione logaritmica, per $x=1$ si annulla, qualunque sia la base del logaritmo. Ho ragione? (E qui si correggerebbe il testo...)
Inoltre: perchè $tg2x$ non è continua nell'intervallo proposto? Il suo $C.E.$ a quanto mi risulta in tal caso è $x$ diverso sia da $k\pi/2$ sia da $\pi/4$.
Il teorema di esistenza degli zeri afferma che, nel caso si abbia una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ai cui estremi ci siano valori di segno opposto, esiste ALMENO un punto in cui la funzione si annulla; ma anche se le sue ipotesi non sono verificate, può capitare che la funzione si annulli lo stesso in quell'intervallo.
A quanto ho capito io, questo accade perchè il teorema degli zeri ci dice "in questo caso... esiste almeno uno zero" ma non ci dice che SOLO in questo caso abbiamo uno zero. Intanto, è esatto? E come posso esprimerlo in termini più "matematici"?
Grazie anticipatamente.
Risposte
"TR0COMI":
Secondo me invece rientrerebbe anche $y=log_2(x)$ poichè anche la funzione logaritmica, per $x=1$ si annulla, qualunque sia la base del logaritmo. Ho ragione?
In realtà penso non si possa dire che "non è verificata" l'ipotesi sul segno della $f$ agli estremi dell'intervallo. Infatti per $x = -1$ la funzione logaritmo in base $2$ non esiste proprio. Non ha senso quindi dire che assume "valori di segno non discorde".
Il $C.E.$ di $y=tg2x$ è $x != k pi/4$.
Ed essendo $pi/4 in [-1; 1]$ ...
Ed essendo $pi/4 in [-1; 1]$ ...
"TR0COMI":
Il teorema di esistenza degli zeri afferma che, nel caso si abbia una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ai cui estremi ci siano valori di segno opposto, esiste ALMENO un punto in cui la funzione si annulla; ma anche se le sue ipotesi non sono verificate, può capitare che la funzione si annulli lo stesso in quell'intervallo.
A quanto ho capito io, questo accade perchè il teorema degli zeri ci dice "in questo caso... esiste almeno uno zero" ma non ci dice che SOLO in questo caso abbiamo uno zero. Intanto, è esatto? E come posso esprimerlo in termini più "matematici"?
$f: [a,b] -> RR$
Ipotesi:
$f$ continua in $[a,b]$
$f(a) * f(b) < 0$
Tesi:
$EE bar{x} in (a,b) : f(bar{x}) = 0$
Esiste ALMENO uno zero, certamente. Se aggiungessi un'altra ipotesi al th. degli zeri, ad esempio che la funzione sia strettamente monotona nell'intervallo $[a,b]$, è abbastanza intuitivo che lo zero sarebbe uno ed uno soltanto.
Quindi $y=tg2x$ (che io per "analizzare" mi ero trasformato con le formule goniometriche; quindi non è affatto necessario trovare il $C.E.$ in tal modo?) in $[-1;1]$ non è continua; automaticamente non è verificato nè il teorema di Weierstrass nè può esserlo quello degli zeri. Ovviamente $\pi/4$ è compreso tra $-1$ e $1$ ricordando la circonferenza goniometrica?
Mi spieghi meglio ciò che dici qui?
Un'altra cosa: la tesi, interpretata, è "Esiste almeno un $x$ appartenente all'intervallo che fa sì che $f(x)$ si annulli"? Quel simbolo sulla $x$ vuol dire "almeno" ?
Esiste ALMENO uno zero, certamente. Se aggiungessi un'altra ipotesi al th. degli zeri, ad esempio che la funzione sia strettamente monotona nell'intervallo , è abbastanza intuitivo che lo zero sarebbe uno ed uno soltanto.
Mi spieghi meglio ciò che dici qui?
Un'altra cosa: la tesi, interpretata, è "Esiste almeno un $x$ appartenente all'intervallo che fa sì che $f(x)$ si annulli"? Quel simbolo sulla $x$ vuol dire "almeno" ?
"TR0COMI":
Quindi $y=tg2x$ (che io per "analizzare" mi ero trasformato con le formule goniometriche; quindi non è affatto necessario trovare il $C.E.$ in tal modo?) in $[-1;1]$ non è continua; automaticamente non è verificato nè il teorema di Weierstrass nè può esserlo quello degli zeri. Ovviamente $\pi/4$ è compreso tra $-1$ e $1$ ricordando la circonferenza goniometrica?
Non so come fai a vederlo sulla circonferenza goniometrica. Siccome $pi = 3,14$...... $pi/4$ sarà sicuramente compreso tra $0$ e $1$; no?
Inoltre, per il calcolo del dominio di quella funzione, non è assolutamente necessario l'uso delle formule di duplicazione.
Basta che cambi variabile ponendo $z = 2x$.
Il dominio di $tan(z)$ è $z != pi/2 + kpi$.
Ricambiando variabile... $2x != pi/2 + kpi$ ovvero $x != pi/4 + kpi/2$ (stamattina, in preda al sonno, ho sbagliato di scrivere il dominio).
"TR0COMI":Esiste ALMENO uno zero, certamente. Se aggiungessi un'altra ipotesi al th. degli zeri, ad esempio che la funzione sia strettamente monotona nell'intervallo , è abbastanza intuitivo che lo zero sarebbe uno ed uno soltanto.
Mi spieghi meglio ciò che dici qui?
E' una considerazione aggiuntiva che ho scritto e che tu puoi anche tralasciare. Se tra le ipotesi del teorema degli zeri [(1) $f$ continua in $[a,b]$, (2) $f(a)*f(b) < 0$ ] aggiungessimo anche una terza ipotesi (3) $f$ strettamente monotona in $[a,b]$, allora viene quasi da sé che invece di scrivere che "esiste ALMENO uno zero..." potremmo scrivere che "esiste uno ed un unico zero...".
"TR0COMI":
Un'altra cosa: la tesi, interpretata, è "Esiste almeno un $x$ appartenente all'intervallo che fa sì che $f(x)$ si annulli"? Quel simbolo sulla $x$ vuol dire $almeno$ ?
$bar{x}$ si legge "$x$ segnato". In questo caso era solo per indicare che è un punto ben preciso. Al posto di questo avresti potuto mettere il più usuale $x_0$... Sarebbe stato identico.
Diciamo che l'interpretazione è corretta (puoi anche evitare di scrivere "almeno").
Scusa se insisto; il teorema ci dice:
Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a;b]$ e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto $c$ ,interno all'intervallo, in cui $f$ si annulla.
Perchè, anche se questo teorema non è applicabile, la funzione può effettivamente annullarsi? Questo è il nocciolo.
Sei d'accordo, credo,che $y=log_2(x)$ si annulla per un punto interno all'intervallo $[-1;1]$ , ossia per $1$.
E'vero poi che a questa funzione il teorema degli zeri quantomeno "non è applicabile", poichè essa non è continua in $[-1;1]$ ; quindi dovremmo poter dire che, pur non essendo applicabile il teorema degli zeri in quell'intervallo, la funzione si annulla per un punto di quell'intervallo, no?
Capito poi il fatto della monotonia... in pratica tu dici che aggiungendo questa condizione, dovendo la funzione essere strettamente crescente/decrescente, non si potrebbe avere più di uno zero, ossia si avrebbe "al più" un punto di annullamento.
Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a;b]$ e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto $c$ ,interno all'intervallo, in cui $f$ si annulla.
Perchè, anche se questo teorema non è applicabile, la funzione può effettivamente annullarsi? Questo è il nocciolo.
Sei d'accordo, credo,che $y=log_2(x)$ si annulla per un punto interno all'intervallo $[-1;1]$ , ossia per $1$.
E'vero poi che a questa funzione il teorema degli zeri quantomeno "non è applicabile", poichè essa non è continua in $[-1;1]$ ; quindi dovremmo poter dire che, pur non essendo applicabile il teorema degli zeri in quell'intervallo, la funzione si annulla per un punto di quell'intervallo, no?
Capito poi il fatto della monotonia... in pratica tu dici che aggiungendo questa condizione, dovendo la funzione essere strettamente crescente/decrescente, non si potrebbe avere più di uno zero, ossia si avrebbe "al più" un punto di annullamento.
"TR0COMI":
Sei d'accordo, credo,che $y=log_2(x)$ si annulla per un punto interno all'intervallo $[-1;1]$ , ossia per $1$.
E'vero poi che a questa funzione il teorema degli zeri quantomeno "non è applicabile", poichè essa non è continua in $[-1;1]$ ; quindi dovremmo poter dire che, pur non essendo applicabile il teorema degli zeri in quell'intervallo, la funzione si annulla per un punto di quell'intervallo, no?
Capito poi il fatto della monotonia... in pratica tu dici che aggiungendo questa condizione, dovendo la funzione essere strettamente crescente/decrescente, non si potrebbe avere più di uno zero, ossia si avrebbe "al più" un punto di annullamento.
Tu hai scritto:
Poi mi dice testualmente: "Alcune delle funzioni si annullano in un punto interno a [-1;1] pur non essendo verificate le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri. Quali sono? Perchè non c'è contraddizione?"
"Pur non essendo verificate le ipotesi del teorema" presuppone che tu sia in grado di dire se queste ipotesi sono vere o sono false. Ma ciò non avviene nel caso in questione.
Se andiamo a considerare l'ipotesi sul segno della funzione: $f(a)*f(b) = log_2(-1)*log_2(1) < 0$ , ti rendi conto che non puoi dire se è vera o falsa, in quanto la scrittura $log_2(-1)$ è senza significato (il che non vuol dire che sia falsa, ma che non ha senso).
"TR0COMI":
Scusa se insisto; il teorema ci dice:
Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a;b]$ e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto $c$ ,interno all'intervallo, in cui $f$ si annulla.
Perchè, anche se questo teorema non è applicabile, la funzione può effettivamente annullarsi? Questo è il nocciolo.
perchè i teoremi sulle funzioni continue costituiscono delle condizioni sufficienti, ma non necessarie
difatti : è sufficiente che una funzione sia continua nell'intervallo e che negli estremi assuma valori opposti, perchè esista almeno uno zero, ma non è necessario, non vale cioè l'inverso
infatti una funzione può non essere continua e/o non ammettere valori opposti agli estremi, ma comunque avere degli zeri all'interno dell'intervallo
Secondo me il nocciolo della questione è che il fatto che il teorema degli zeri esprime una condizione sufficiente (ma non necessaria) per l'esistenza appunto di zeri.
In sostanza, il th. dice che se una funzione etc allora ha degli zeri; ma non dice affatto che se una funzione ha degli zeri allora è continua e assume valori dicordi agli estremi etc.
In pratica, è un "se" e non un "se e solo se".
Vediamo di chiarire il discorso con un esempio secondo me illuminante.
$y=|x|$: continua su tutto $RR$; prendiamo $[-pi;pi]$: la funzione assume ovviamente valori concordi agli estremi (caspita, è sempre positiva!): non soddisfa dunque le ipotesi del th. degli zeri. Eppure si annulla in $x=0 in [-pi,pi]$.
Più chiara ora la faccenda? Facci sapere.
P.S. Ok, scusate se ho fatto l'eco; non avevo visto le vostre risposte.
In sostanza, il th. dice che se una funzione etc allora ha degli zeri; ma non dice affatto che se una funzione ha degli zeri allora è continua e assume valori dicordi agli estremi etc.
In pratica, è un "se" e non un "se e solo se".
Vediamo di chiarire il discorso con un esempio secondo me illuminante.
$y=|x|$: continua su tutto $RR$; prendiamo $[-pi;pi]$: la funzione assume ovviamente valori concordi agli estremi (caspita, è sempre positiva!): non soddisfa dunque le ipotesi del th. degli zeri. Eppure si annulla in $x=0 in [-pi,pi]$.
Più chiara ora la faccenda? Facci sapere.
P.S. Ok, scusate se ho fatto l'eco; non avevo visto le vostre risposte.
"TR0COMI":
Scusa se insisto; il teorema ci dice:
Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a;b]$ e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto $c$ ,interno all'intervallo, in cui $f$ si annulla.
Perchè, anche se questo teorema non è applicabile, la funzione può effettivamente annullarsi? Questo è il nocciolo.
Perché le ipotesi del teorema degli zeri forniscono solo una condizione sufficiente (ma non necessaria) perché esista almeno uno zero.
Il che significa che:
(1) se le ipotesi sono verificate, è assicurata l'esistenza di uno zero. (sufficiente)
(2) se esiste lo zero, non è detto che siano verificate le ipotesi del teorema. (non necessaria)
Puoi dimostrare che non è una condizione necessaria semplicemente dando un controesempio.
P. es. la funzione $f(x) = x^2$ nell'intervallo $[-1, 1]$.
Ok, grazie a te Seneca e a Paolo, adesso è chiaro il perchè le ipotesi del teorema sono sufficienti a garantire l'esistenza di uno zero, ma non necessarie per garantirla.
Per la funzione logaritmica che ho esposto: si, in effetti non si può affermare nè che le ipotesi del teorema di esistenza sono verificate, nè che non lo sono. Non ha significato dunque il fatto stesso di chiederselo.
Per la funzione logaritmica che ho esposto: si, in effetti non si può affermare nè che le ipotesi del teorema di esistenza sono verificate, nè che non lo sono. Non ha significato dunque il fatto stesso di chiederselo.
Ho perpetrato il vostro eco. Non mi ero accorto delle vostre risposte.
Ave atque vale.
Ave atque vale.
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