Teoremi sui limti...

[stellacometa]

Ragazzi...mi dareste la definizione del TEOREMA DELL'UNICITA' DEL LIMITE??
Nel mio libro non lo trovo da nessuna parte...
Grazie
ps. se potete, anche qualche applicazione pratica!!!

[giuseppe87x]

Il teorema dell'unicità del limite sostiene che se una funzione f(x) ammette limite finito l in un punto c, allora tale limite è unico. Si dimostra per assurdo...vuoi la dim?

[stellacometa]

La dimostrazione no, però in che senso il limite è unico??

[giuseppe87x]

E' unico nel senso che ne puoi trovare solo un valore, non più di uno.

[mick86]

Stellacometa proprio ieri sera alle 23 ho studiato il teorema dell unicità del limite con la dimostrazione per assurdo. ora mi tocca il teorema sulla convergenza obbligata o dei Carabinieri

[giuseppe87x]

Il teorema dei Carabinieri non è quello del confronto?? Si chiama anche della convergenza obbligata??

[mick86]

si è quello si chiama anche cosi

[stellacometa]

Cos'è uno zero della funzione e che condizioni comporta???

[Giusepperoma2]

uno zero di una funzione e' un numero che annulla la funzione.

formalmente:

x0 e' uno zero di f(x) sse f(x0)=0

[sse = se e solo se]

[stellacometa]

Vi sono delle condizioni o roba del genere per un numero essere uno zero di funzione???

[Giusepperoma2]

si... quella che ti ho detto!

Per esempio

f(x)=(x-3)ln(x-3)/(x^3+5)

ha per zeri

x=3

e

x=4

ci sei?

[eafkuor1]

scusate ragazzi, ma cosa si intende per limite di una funzione in un punto?

[cavallipurosangue]

Chiamato $x_0$ tale punto ed $l$ il valore che assume in tale punto, si dice che in quel punto la funzione ammette limite $l$ se:
$\forallU_{x_0},\exists V_{l}: f(U_{x_0})\subeV_{l}$

[eafkuor1]

quindi il limite di una funzione in un suo punto è solo il valore della funzione in quel punto. e allora perché chiamarlo limite?

forse perché $lim_(x->x_0) f(x)=l$

?

[cavallipurosangue]

Scusami ma mi sono involontariamente espresso male.. L non è sempre un valore che viene ragiunto dalla funzione, infatti affinchè si possa fare il limite occorre che quel punto non appartenga necessariamente al dominio, ma basta che sia di accumulazione, così in definitiva siamo in grado di conoscere il comportamente di una funzione anche dove non è definita, ma solo in un intorno della frontiera del dominio. Ecco perchè si chiama limite

[cavallipurosangue]

Qullo che dici tu infatti è valido solo nel caso di punti interni al dominio di una funzione continua, anzi spesso viene proprio uasta come definizione di continuità puntuale.

[Akillez]

oppure è possibile anche dire che il limite è unico in quanto(prendo la parte conclusiva del teorema)

$AA epsilon > 0 | L1-L2 |< 2 epsilon$

Si prenda $lim_(x->+oo) sinx$ ovviamente il limite non esiste e lo dimostri trovando 2 valori che sono tra loro distinti attraverso un teorema che lega limiti di funzioni con quello delle successioni. Quindi L1=0 e L2=1
Fatto questo prendo la negazione del teorema di unicità del limite:

$-(AA epsilon > 0 | L1-L2 |< 2 epsilon)$

$EE epsilon >0 | L1-L2 |>= 2 epsilon$ si prenda $epsilon=1/1000$ come vedi $1-0=1 >2/1000$

Chiusa la dimostrazione

[eafkuor1]

eh infatti

ora mi avete chiarito le idee, grazie

[stellacometa]

Posso fare una domanda, non so, forse banale....???
Ma cosa ha fatto nascere l'idea di poter rappresentare graficamente le funzioni? Oppure sono state le "figure" a far nascere l'idea di rappresentarle letteralmente??

[eafkuor1]

Penso che sia stato René Descartes (Cartesio), no?
Da quanto mi ricordo Cartesio ha "pensato" alle coppie di numeri $(x;F(x))$ come alle coordinate di un punto sul piano, da qui segue il resto.

[giuseppe87x]

eafkuor ha detto bene. Cartesio ha avuto l'idea di studiare la geometria razionale attraverso gli strumenti dell'algebra associando ai luoghi geometrici delle funzioni che, dati due insiemi numerici, stabilissero una relazione algebrica tra di essi. Graficamente questi due insiemi corrispondono all'asse delle ascisse e a quello delle ordinate che non a caso prendono il nome di assi cartesiani.