Teorema di Ruffini – esercizi di Matematica dolce
Ciao!
Mi sono appena iscritta, ho ripreso lo studio della matematica dopo anni dall'esame di maturità scientifica
Sto ripassando seguendo il libro Matematica dolce: a pagina 22 del terzo volume ci sono alcuni esercizi sul teorema di Ruffini (1.5)
Come si risolve un problema del genere, in cui il divisore ha una x di secondo grado?
Per quale valore di k il polinomio \(\displaystyle x^3-2x^2+kx+2 \) è divisibile per \(\displaystyle x^2-1 \)?
Grazie mille!
Mi sono appena iscritta, ho ripreso lo studio della matematica dopo anni dall'esame di maturità scientifica
Sto ripassando seguendo il libro Matematica dolce: a pagina 22 del terzo volume ci sono alcuni esercizi sul teorema di Ruffini (1.5)
Come si risolve un problema del genere, in cui il divisore ha una x di secondo grado?
Per quale valore di k il polinomio \(\displaystyle x^3-2x^2+kx+2 \) è divisibile per \(\displaystyle x^2-1 \)?
Grazie mille!
Risposte
Dato che $x^2-1=(x-1)(x+1)$ significa che devi trovare il valore di $k$ affinché quel polinomio sia divisibile per entrambi i binomi ($x+1$ e $x-1$)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
ah certo! Grazie mille!
Si può fare anche altro... Ad esempio, raccogliendo un po' si trova:
$x^3-2x^2+kx+2 = x (x^2 + k) - 2 (x^2 -1)$
da cui si ottiene subito $k=-1$.
Oppure, basta svolgere la divisione lunga (quella in colonna) tra $x^3-2x^2+kx+2$ ed $x^2 -1$; al primo incolonnamento si ottiene quoziente $x$ e resto:
$x^3-2x^2+kx+2 - x (x^2 - 1) = -2x^2 + (k+1) x + 2$;
dividendo il resto parziale per $x^2 - 1$ si ottiene quoziente $-2$ e resto:
$-2x^2 + (k+1) x + 2 + 2 (x^2 - 1) = (k+1) x$
e quindi la divisione termina, fornendo quoziente $x -2$ e resto $(k+1)x$.
Ne viene che la divisione è esatta solo se $k= -1$, come previsto.
O ancora, basta osservare che le somme dei coefficienti e dei coefficienti a segni alterni devono essere nulle (perché la divisibilità per $x^2 - 1$ equivale a quella per entrambi i binomi $x +- 1$).
Dunque deve essere $1-2+k+2 = 0 = -1-2-k+2$, da cui $k=-1$ again.
$x^3-2x^2+kx+2 = x (x^2 + k) - 2 (x^2 -1)$
da cui si ottiene subito $k=-1$.
Oppure, basta svolgere la divisione lunga (quella in colonna) tra $x^3-2x^2+kx+2$ ed $x^2 -1$; al primo incolonnamento si ottiene quoziente $x$ e resto:
$x^3-2x^2+kx+2 - x (x^2 - 1) = -2x^2 + (k+1) x + 2$;
dividendo il resto parziale per $x^2 - 1$ si ottiene quoziente $-2$ e resto:
$-2x^2 + (k+1) x + 2 + 2 (x^2 - 1) = (k+1) x$
e quindi la divisione termina, fornendo quoziente $x -2$ e resto $(k+1)x$.
Ne viene che la divisione è esatta solo se $k= -1$, come previsto.
O ancora, basta osservare che le somme dei coefficienti e dei coefficienti a segni alterni devono essere nulle (perché la divisibilità per $x^2 - 1$ equivale a quella per entrambi i binomi $x +- 1$).
Dunque deve essere $1-2+k+2 = 0 = -1-2-k+2$, da cui $k=-1$ again.
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