Teorema di Rolle, misto a fisica!
Salve, potreste spiegarmi come si dovrebbe svolgere questo esercizio?
Dire, formalizzando la questione ed utilizzando il teorema di Rolle, se è vero che: "Se un automobilista si muove, senza soste, su una traiettoria rettilinea e compie un viaggio in cui il punto di partenza coincide con il punto di arrivo, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell'automobile deve indicare esattamente 0 km/h".
Dire, formalizzando la questione ed utilizzando il teorema di Rolle, se è vero che: "Se un automobilista si muove, senza soste, su una traiettoria rettilinea e compie un viaggio in cui il punto di partenza coincide con il punto di arrivo, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell'automobile deve indicare esattamente 0 km/h".
Risposte
Ok questo genere di problemi non li ho affrontati, eppure sono in un quinto scientifico con tanto di sperimentazione D: A me verrebbe da applicare la trigonometria, o meglio, considerare la circonferenza in cui il punto di arrivo coincide con quello di partenza e da qui stabilire gli estremi dell'intervallo chiuso.
Beh, guarda mi verrebbe da dirti che il tachimetro della macchina segna 0 km/h quando parte e quando arriva. Poi se ce ne sono altri non credo. A meno che non si muova e quindi resta sempre a 0 ma mi sembra inutile come risposta :)
A me viene in mente un solo modo per cui muovendosi in rettilineo si possa tornare al punto di partenza muovendosi senza soste: il moto armonico semplice.
Nel moto armonico semplice, semplificando al massimo, lo spazio percorso da un corpo è funzione del coseno della frequenza di oscillazione (grandezza dipendente dal tempo trascorso).
Se noi consideriamo l'intervallo di valori all'interno del quale la funzione coseno parte dal valore 0, raggiunge il valore 1 e torna a 0, in pratica abbiamo quello che chiede il problema: partiamo da una posizione x = 0, raggiungiamo una determinata posizione x2 = 1 e quindi torniamo alla posizione x3 = x = 0 (poi nel moto armonico si dovrebbe procedere nel senso opposto nel range di valori 0 -1 0, ma per il nostro problema non è fondamentale).
Proviamo a vedere se il t. di Rolle è applicabile e soddisfatto.
Questo teorema afferma che se una funzione e' continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile all'interno dell'intervallo stesso e se inoltre agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.
Allora l'intervallo chiuso è l'intervallo di tempo in cui la nostra funzione coseno assume i valori 0, in questo intervallo tale funzione è sicuramente continua e derivabile, in quanto la funzione coseno è continua e derivabile in ogni suo punto.
Agli estremi dell'intervallo scelto la funzione assume il medesimo valore (0).
All'interno dell'intervallo esiste un punto in cui la derivata vale 0: si perchè, come sappiamo, la derivata di una funzione coseno e la funzione seno (segno a parte che al momento non ci interessa) e sappiamo anche che, quando la funzione coseno vale 1 la funzione seno vale 0 per cui questo punto esisterà e sarà, nel nostro caso, proprio al centro dell'intervallo scelto, dove la funzione coseno raggiunge il valore massimo.
Ma cosa vuol dire derivare la nostra funzione coseno?
Ricordiamo che questa funzione rappresenta lo spazio che occupa il corpo lungo il tragitto rettilineo e la derivata in questione sarebbe fatta in funzione del tempo quindi rappresenterebbe, in pratica, la velocità istantanea del nostro corpo.
Ma se, come abbiamo visto, esiste un punto in cui questa derivata vale 0, allora vuol dire che esiste un istante in cui il contachilometri della nostra vettura dovrà segnare 0 km/h come indicato nel problema.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro e di non aver preso abbagli nella trattazione di questa mia spiegazione.
:hi
Massimiliano
Nel moto armonico semplice, semplificando al massimo, lo spazio percorso da un corpo è funzione del coseno della frequenza di oscillazione (grandezza dipendente dal tempo trascorso).
Se noi consideriamo l'intervallo di valori all'interno del quale la funzione coseno parte dal valore 0, raggiunge il valore 1 e torna a 0, in pratica abbiamo quello che chiede il problema: partiamo da una posizione x = 0, raggiungiamo una determinata posizione x2 = 1 e quindi torniamo alla posizione x3 = x = 0 (poi nel moto armonico si dovrebbe procedere nel senso opposto nel range di valori 0 -1 0, ma per il nostro problema non è fondamentale).
Proviamo a vedere se il t. di Rolle è applicabile e soddisfatto.
Questo teorema afferma che se una funzione e' continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile all'interno dell'intervallo stesso e se inoltre agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.
Allora l'intervallo chiuso è l'intervallo di tempo in cui la nostra funzione coseno assume i valori 0, in questo intervallo tale funzione è sicuramente continua e derivabile, in quanto la funzione coseno è continua e derivabile in ogni suo punto.
Agli estremi dell'intervallo scelto la funzione assume il medesimo valore (0).
All'interno dell'intervallo esiste un punto in cui la derivata vale 0: si perchè, come sappiamo, la derivata di una funzione coseno e la funzione seno (segno a parte che al momento non ci interessa) e sappiamo anche che, quando la funzione coseno vale 1 la funzione seno vale 0 per cui questo punto esisterà e sarà, nel nostro caso, proprio al centro dell'intervallo scelto, dove la funzione coseno raggiunge il valore massimo.
Ma cosa vuol dire derivare la nostra funzione coseno?
Ricordiamo che questa funzione rappresenta lo spazio che occupa il corpo lungo il tragitto rettilineo e la derivata in questione sarebbe fatta in funzione del tempo quindi rappresenterebbe, in pratica, la velocità istantanea del nostro corpo.
Ma se, come abbiamo visto, esiste un punto in cui questa derivata vale 0, allora vuol dire che esiste un istante in cui il contachilometri della nostra vettura dovrà segnare 0 km/h come indicato nel problema.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro e di non aver preso abbagli nella trattazione di questa mia spiegazione.
:hi
Massimiliano
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