Teorema di rolle i perchè delle ipotesi
la funzione dev'essere continua nell'intervallo chiuso perchè se l'intervallo fosse aperto potrebbe valere una discontinuità di terza specie che rende la funzione priva di punto stazionario.
Se a e b, i due estremi sono differenti allora la funzione può essere pensata come retta che non ha punti stazionari.
Ma perchè basta che la funzione sia derivabile nell'intorno aperto $(a;b)$?
Se a e b, i due estremi sono differenti allora la funzione può essere pensata come retta che non ha punti stazionari.
Ma perchè basta che la funzione sia derivabile nell'intorno aperto $(a;b)$?
Risposte
"caseyn27":
Ma perchè basta che la funzione sia derivabile nell'intorno aperto $(a;b)$?
Il punto è che perché la funzione sia derivabile, devi poter calcolare il limite del rapporto incrementale sia da destra che da sinistra in ciascun punto. Non potendolo fare agli estremi dell'intervallo, non ha senso dire che una funzione è derivabile in $[a , b]$.
Non sono d'accordo, avrebbe senso dire che è derivabile in $[a,b]$. Infatti la definizione di limite parla di intorni intersecati con il dominio: se il domino è solo a destra del punto, automaticamente si andrà a controllare la condizione soltanto per i punti lì a destra. Soltanto che, essendo sufficiente che lo sia nell'intervallo aperto, nelle ipotesi si mette quello.
Inoltre, senza questa ipotesi il teorema potrebbe non valere: pensa ad esempio a questa funzione.
Inoltre, senza questa ipotesi il teorema potrebbe non valere: pensa ad esempio a questa funzione.
e perchè è sufficiente dire che la funzione è derivabile in $(a;b)$
è una domanda
La dimostrazione non l'hai vista? Sfrutta il fatto che la derivata di una funzione in un punto di massimo o di minimo in un intervallo aperto è uguale a zero. Massimo e minimo esistono per Weierstrass in $[a,b]$: se almeno uno dei due è in $(a,b)$ applichi il risultato che ti ho appena detto (regola di Fermat). Per fortuna però riusciamo a dimostrare quello che ci serve anche se invece sia il massimo che il minimo sono agli estremi dell'intervallo: questa situazione infatti si presenta soltanto se la funzione è costante, e una funzione costante ha derivata ovunque nulla. La derivabilità anche in $a$ e $b$ non ci aiuterebbe perché in ogni caso non potremmo usare la regola di Fermat, che vale solo per i punti interni.
non ho studiato la regola di fermat
Ma la dimostrazione di Rolle l'hai fatta? Probabilmente viene dimostrato lì dentro invece che come teorema a sé stante. E in ogni caso puoi capire lo stesso quello che ho scritto!
nella dimostrazione si utilizza il fatto che, essendo la funzione derivabile nei punti interni dell'intervallo, allora il limite destro e sinistro del massimo esistono e si deduce che esso è zero per intersezione. QUindi non si considerano gli estremi perchè è superfluo nella dimostrazione?
Non si capisce niente di quello che hai scritto, comunque penso che quella sia proprio la regola (o teorema) di Fermat.
Esatto, non si considerano nella derivabilità perché non ce n'è bisogno, e neanche semplificherebbero la dimostrazione. L'unico effetto sarebbe quello (sgradito) di restringere l'insieme delle funzioni che soddisfano le ipotesi: ad esempio non si potrebbe applicare il teorema a questa semicirconferenza, perchè non è derivabile agli estremi.
Esatto, non si considerano nella derivabilità perché non ce n'è bisogno, e neanche semplificherebbero la dimostrazione. L'unico effetto sarebbe quello (sgradito) di restringere l'insieme delle funzioni che soddisfano le ipotesi: ad esempio non si potrebbe applicare il teorema a questa semicirconferenza, perchè non è derivabile agli estremi.
"yellow":
Non sono d'accordo, avrebbe senso dire che è derivabile in $[a,b]$. Infatti la definizione di limite parla di intorni intersecati con il dominio: se il domino è solo a destra del punto, automaticamente si andrà a controllare la condizione soltanto per i punti lì a destra. Soltanto che, essendo sufficiente che lo sia nell'intervallo aperto, nelle ipotesi si mette quello.
Inoltre, senza questa ipotesi il teorema potrebbe non valere: pensa ad esempio a questa funzione.
Con la classica definizione di derivabilità non ha senso dire che $f$ è derivabile nell'intervallo chiuso $[ a , b ]$.
Infatti sul testo di Prodi si estende la definizione dicendo che se $f$ è derivabile in $] a , b [$ e ha derivate sinistra e destra finite risp. in $b$ e in $a$, allora si dice che $f$ è derivabile in $[a , b]$.
Ma è una cosa che molti autori non fanno. Quindi non solo non c'è bisogno di quell'ipotesi, ma sarebbe anche una esagerazione.
Ahah è la seconda volta in due giorni che abbiamo totale divergenza di definizioni!
Ma allora dire che è continua in $[a,b]$ presenterebbe lo stesso problema. Infatti secondo te non ha senso parlare di $lim_{x->a}f(x)$.
Tutte le definizioni che io ho visto di limite invece erano del tipo "per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale positivo δ tale che
| f(x) − l | < ε per ogni x in X con 0 < | x − x0 | < δ" (Wikipedia), ossia le x nell'intorno reale che non appartengono al dominio (X) non falsificano la proposizione.
E' ovvio invece che se la funzione è definita in tutto un intorno di numeri reali del punto, devono esistere sia limite sinistro che limite destro e coincidere.
EDIT: ho controllato sul Giusti, sui miei appunti e su delle dispense che avevo utilizzato. Devo darti ragione, tutti quanti definiscono la derivata solo in intervalli aperti. Strano perché invece il limite del rapporto incrementale esisterebbe pure, agli estremi. Cos'è che non piace del concetto di derivata calcolata in un estremo dell'intervallo? Mi viene in mente solo che facilita le cose per la generalizzazione a funzioni di più variabili, dove le derivate parziali in insiemi non aperti presenterebbero dei problemi più brutti. Ma non è una spiegazione convincente.
Ma allora dire che è continua in $[a,b]$ presenterebbe lo stesso problema. Infatti secondo te non ha senso parlare di $lim_{x->a}f(x)$.
Tutte le definizioni che io ho visto di limite invece erano del tipo "per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale positivo δ tale che
| f(x) − l | < ε per ogni x in X con 0 < | x − x0 | < δ" (Wikipedia), ossia le x nell'intorno reale che non appartengono al dominio (X) non falsificano la proposizione.
E' ovvio invece che se la funzione è definita in tutto un intorno di numeri reali del punto, devono esistere sia limite sinistro che limite destro e coincidere.
EDIT: ho controllato sul Giusti, sui miei appunti e su delle dispense che avevo utilizzato. Devo darti ragione, tutti quanti definiscono la derivata solo in intervalli aperti. Strano perché invece il limite del rapporto incrementale esisterebbe pure, agli estremi. Cos'è che non piace del concetto di derivata calcolata in un estremo dell'intervallo? Mi viene in mente solo che facilita le cose per la generalizzazione a funzioni di più variabili, dove le derivate parziali in insiemi non aperti presenterebbero dei problemi più brutti. Ma non è una spiegazione convincente.
(C'è una domanda implicita: cosa ne pensate? Qualcuno ne sa qualcosa in più?)
Sapete che cosa vi dico?
Vi dò questa funzione $f(x)=sqrt(1-x^2)$ in $[-1; 1]$, verifica le ipotesi del teorema, compresa la derivabilità in $(-1; 1)$, ma non negli estremi, e, ovviamente, verifica la tesi.
La definizione di Seneca è condivisibile, ma presuppone, appunto, che le derivate destra e sinistra, rispettivamente in $a$ e in $b$ siano finite, cosa che Rolle non chiede.
Nelle ipotesi di Rolle basta la derivabilità in $(a, b)$ perché nella dimostrazione solo quella serve.
Vi dò questa funzione $f(x)=sqrt(1-x^2)$ in $[-1; 1]$, verifica le ipotesi del teorema, compresa la derivabilità in $(-1; 1)$, ma non negli estremi, e, ovviamente, verifica la tesi.
La definizione di Seneca è condivisibile, ma presuppone, appunto, che le derivate destra e sinistra, rispettivamente in $a$ e in $b$ siano finite, cosa che Rolle non chiede.
Nelle ipotesi di Rolle basta la derivabilità in $(a, b)$ perché nella dimostrazione solo quella serve.
Ma su questo siamo d'accordo, è pure lo stesso esempio che ho linkato all'autore del topic. Soltanto che ero convinto in altre situazioni una funzione si potesse dire derivabile anche agli estremi! Gli esempi che si possono tirare fuori però sono tutte funzioni che sarebbero in effetti derivabili in quel punto ma hanno il dominio tagliato.
Non capisco che cosa intendi per "dominio tagliato", questa $f(x)=sqrt(|1-x^2|)$ ad esempio, secondo te ha il dominio tagliato oppure no?
Dipende. Scusa per la scarsissima chiarezza, intendevo una cosa del tipo:
$f:[0,1]->RR, f(x)=x^2$
Il suo domino naturale sarebbe $RR$ e con questa estensione sarebbe derivabile agli estremi. Ma se è definita solo in $[0,1]$, con la definizione di derivata che abbiamo non è derivabile in $0$ e $1$. Intendevo che un esempio di questo tipo non è molto buono per chiarire la situazione.
$f:[0,1]->RR, f(x)=x^2$
Il suo domino naturale sarebbe $RR$ e con questa estensione sarebbe derivabile agli estremi. Ma se è definita solo in $[0,1]$, con la definizione di derivata che abbiamo non è derivabile in $0$ e $1$. Intendevo che un esempio di questo tipo non è molto buono per chiarire la situazione.
Io credo che più che non essere derivabile, è privo di senso chiedersi se agli estremi sia derivabile, proprio per l'impossibilità di fare il limite da sinistra e da destra.
Nelle definizioni che conosco non si parla di derivata sinistra e derivata destra: si parla di limite del rapporto incrementale. Il limite per come è definito esiste anche se l'insieme di definizione è "tutto dallo stesso lato". Quindi avrebbe senso, ma è stato deciso di escluderne la possibilità.
Che poi sia un problema fondamentalmente inutile siamo d'accordo, ma dopo esserci rimasto fregato volevo capire un po' meglio il motivo.
Che poi sia un problema fondamentalmente inutile siamo d'accordo, ma dopo esserci rimasto fregato volevo capire un po' meglio il motivo.
"yellow":
EDIT: ho controllato sul Giusti, sui miei appunti e su delle dispense che avevo utilizzato. Devo darti ragione, tutti quanti definiscono la derivata solo in intervalli aperti. Strano perché invece il limite del rapporto incrementale esisterebbe pure, agli estremi. Cos'è che non piace del concetto di derivata calcolata in un estremo dell'intervallo? Mi viene in mente solo che facilita le cose per la generalizzazione a funzioni di più variabili, dove le derivate parziali in insiemi non aperti presenterebbero dei problemi più brutti. Ma non è una spiegazione convincente.
Scopro che il Lang è "d'accordo con me".
Io sono d'accordo con Yellow. Mi pare ovvio che il motivo dell'esclusione degli estremi sia quello di non restringere inutilmente l'insieme delle funzioni che soddisfano al teorema, visto che si dice chiaramente che c deve essere interno all'intervallo. E neppure io avevo mai considerato questa restrizione sulla definizione di derivata.
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