Teorema di Rolle

[HowardRoark]

Devo trovare i valori dei parametri in modo che la funzione verifichi il teorema di Rolle nell'intervallo $[0;6]$:

$f(x) = ax^2+bx +2$ se $0<=x<2$;
$f(x) = 16/(x+2)$ se $2<=x<=6$.

Credo di non aver capito l'esercizio. $ax^2 +bx + c$, essendo una funzione polinomiale, è continua e derivabile in $RR$ e inoltre si ha già $f(0)=f(6)=2$, quindi le ipotesi del teorema mi sembra siano soddisfatte per ogni valore di $a$ e $b$...

[StellaMartensitica]

Sei sicuro che $f(x)$ nel punto di raccordo $x=2$ sia continua e derivabile?

[Vidocq]

"HowardRoark":Credo di non aver capito l'esercizio.

Non hai capito l'esercizio.
La $f(x)$ è definita come di seguito:

$ f(x)={ ( ax^2+bx +2 rarr 0<=x<2),( 16/(x+2) rarr 2<=x<=6 ):} $

Devi fare in modo che il teorema di Rolle sia applicabile alla $f(x)$ in tutto l'intervallo e non solo nella parte definita dalla funzione polinomiale.

[HowardRoark]

Allora...

$D 16/(x+2) = -(16)/(x+2)^2$.

$lim_(x->2^+) f(x) = 4$ e $lim_(x->2^+) f'(x)=-1$.

Siccome la funzione deve essere continua e derivabile su tutto l'intervallo, il limite sinistro per $x->2$ di $f(x)$ deve essere uguale a $4$ e il limite sinistro della derivata prima di $f(x)$ deve essere uguale a $-1$:

$4a + 2b + 2 = 4$
$4a + b = -1$.

Quindi $a=-1$ e $b=3$.

Grazie per gli spunti!

[StellaMartensitica]

Ecco adesso hai capito. In questi esercizi il problema è sempre nel punto di raccordo tra i due rami della funzione.