Teorema di geometria!

[AMNADR]

Ciao, sono nuovo di qua, tra i compiti per le vacanze ho la dimostrazione di questo teorema che non so proprio da dove iniziare :-((

Dimostra che le tre circonferenze, aventi i centri nei vertici di un triangolo e passanti per i punti in cui la circonferenza inscritta tocca i lati, sono a due a due tangenti esternamente.

Non ho capito nemmeno come fare il disegno :-((

[BIT5]

cominciamo dal disegno.

Fai un triangolo
tracciane le bisettrici dei 3 angoli: il punto di incontro di queste è l'incentro (ovvero il centro della circonferenza inscritta)

Fai la circonferenza inscritta.
Questa sarà tangente ai tre lati del triangolo.

Ora: traccia una circonferenza avente centro su un vertice e passante per i punti di contatto tra la circonferenza e i due lati che comprendono il vertice.

Avrai alla fine il triangolo, una circonferenza interna e tre esterne tangenti a due a due.

Fammi sapere quando hai fatto il disegno...

[AMNADR]

ok ho fatto il disegno..come procedo ora?

Grazie!!

[BIT5]

Per prima cosa dimostriamo che ogni circonferenza con centro sul vertice e raggio=distanza tra vertice e punto di tangenza tra la circ. inscritta e il triangolo, passa anche per l'altro punto di tangenza.

Traccia i raggi della circ. inscritta (di centro O) che passano per i punti di tangenza.
Consideriamo una circonferenza (ad esempio quella con centro in A dove A è un vertice del triangolo)
Traccia la bisettrice di A (che passa per l'incentro)
Tu sai che il raggio relativo al punto di tangenza, è perpendicolare alla tangente.
Considera i 2 triangoli che si formano, delimitati dal lato del triangolo (da A al punto di tangenza) dal raggio (perpendicolare alla tangente) e dalla bisettrice.

Questi sono due triangoli rettangoli, aventi l'angolo in A conguente (e pari a metà dell'angolo A). pertanto sono simili. inoltre hanno un lato in comune (AO). pertanto sono uguali.
Quindi la distanza tra A e i punti di tangenza è uguale.
Pertanto la circonferenza passa per entrambi i punti.
Analogamente dimostri che le altre due circonferenze passano per entrambi i punti di tangenza.
Dal momento che la somma dei raggi delle circonferenze=alla distanza tra i centri (ovvero il lato del triangolo) le circonferenze sono tangenti esterne.

Non è facile senza disegno... prova a vedere comunque se hai capito :)

[AMNADR]

Sei stato esaurientissimo, grazie!!

Sembrava inabbordabile, invece, una volta col disegno corretto, la dimostrazione risulta abbastanza agevole...senza il tuo preziosissimo aiuto non ce l'avrei mai fatta però!!

Grazie ancora!

[ciampax]

Chiudo.