Teorema di Euclide 2°
Ciao a tutti giovedi scorso la prof mi ha int. su dei teoremi tra cui quello di euclide 2° . Praticamente ho iniziato a dirglielo fino alla scritta "perchè complementari dello stesso angolo ACH." poi gli ho detto la proporzione e la prof mi fa dimostrala e io non sapevo cosa dire... cioè mi ha chiesto gli angoli in comune mi sembra (vedi foto) però non gli ho risposto xk non ci sono sul libro.
Risposte
Ciao, Matteo! Se ho ben capito, vorresti dei chiarimenti sulla dimostrazione del secondo teorema di Euclide, che il tuo libro di testo riporta nella pagina che hai postato, giusto?
Provo a cercare di spiegartelo basandomi su quanto dice il tuo testo.
Disegniamo il triangolo rettangolo ABC, di cui AB è l'ipotenusa. Tracciamo poi l'altezza relativa all'ipotenusa, che chiamiamo CH.
Il teorema di Euclide afferma che: "in qualsiasi traingolo rettangolo, al'altezza relativa all'ipotenusa (nel nostro caso CH) è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (nel nostro caso si tratta di AH e BH)"
In altre parole, il secondo teorema di Euclide afferma che:
Il che equiavale anche a dire, volendo ricorrere ad una proporzione, che:
Vediamone bene la dimostrazione.
Consideriamo i due traingoli in cui l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo rettangolo ABC: sono ACH e CHB.
Essi sono entrambi rettangoli, dal momento che CH è perpendicolare ad AB.
Analizziamo i tre angoli di ciascun traingolo.
In ogni traingolo, la somma degli angoli interni è pari a 180°. Questo vale sia per il triangolo ABC, che ACH e CHB.
Prendiamo in considerazione il triangolo ABC.
L'angolo con vertice in B (CBA), ha una ampiezza pari a:
Ma se considero il traingolo ACH, anche l'angolo ACH risulta valere esattemente:
Ne deduco che ACH = CBA.
La stessa cosa posso dire, essatamente per lo stesso motivo, anche per CAH e HCB.
Infatti, considerando il triangolo ACH:
Considerando il traingolo ABC:
Si conclude che:
Ecco determinati tutti gli angoli uguali. Andiamo avanti con la dimostrazione.
I triangoli ACH e CHB sono dunque simili tra loro. Se sono simili, i loro lati corrispondenti (cioè quelli a cui sono adiacenti angoli uguali), sono tra loro proporzionali:
AH è proporzionale di CH
AC è proporzionale di CB
CH è proprorzionale di BH
Vuol dire che:
Togliendo il termine centrale:
Ecco dimostrata la proporzione.
Ciao, spero di esserti stata d'aiuto!
Provo a cercare di spiegartelo basandomi su quanto dice il tuo testo.
Disegniamo il triangolo rettangolo ABC, di cui AB è l'ipotenusa. Tracciamo poi l'altezza relativa all'ipotenusa, che chiamiamo CH.
Il teorema di Euclide afferma che: "in qualsiasi traingolo rettangolo, al'altezza relativa all'ipotenusa (nel nostro caso CH) è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (nel nostro caso si tratta di AH e BH)"
In altre parole, il secondo teorema di Euclide afferma che:
[math]HC^2 = AH*HB[/math]
Il che equiavale anche a dire, volendo ricorrere ad una proporzione, che:
[math]AH: CH = CH:BH[/math]
Vediamone bene la dimostrazione.
Consideriamo i due traingoli in cui l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo rettangolo ABC: sono ACH e CHB.
Essi sono entrambi rettangoli, dal momento che CH è perpendicolare ad AB.
Analizziamo i tre angoli di ciascun traingolo.
In ogni traingolo, la somma degli angoli interni è pari a 180°. Questo vale sia per il triangolo ABC, che ACH e CHB.
Prendiamo in considerazione il triangolo ABC.
L'angolo con vertice in B (CBA), ha una ampiezza pari a:
[math]180 -90 - CAB[/math]
Ma se considero il traingolo ACH, anche l'angolo ACH risulta valere esattemente:
[math]180 -90 - CAB[/math]
Ne deduco che ACH = CBA.
La stessa cosa posso dire, essatamente per lo stesso motivo, anche per CAH e HCB.
Infatti, considerando il triangolo ACH:
[math]CAH = 180-90 - ACH[/math]
Considerando il traingolo ABC:
[math]HCB = 180 -90 - CBA (= ACH)[/math]
Si conclude che:
[math]CAH = HCB[/math]
Ecco determinati tutti gli angoli uguali. Andiamo avanti con la dimostrazione.
I triangoli ACH e CHB sono dunque simili tra loro. Se sono simili, i loro lati corrispondenti (cioè quelli a cui sono adiacenti angoli uguali), sono tra loro proporzionali:
AH è proporzionale di CH
AC è proporzionale di CB
CH è proprorzionale di BH
Vuol dire che:
[math]AH/CH = AC/CB= CH/BH[/math]
Togliendo il termine centrale:
[math]AH:CH = CH:BH[/math]
Ecco dimostrata la proporzione.
Ciao, spero di esserti stata d'aiuto!
grazie
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