Teorema di divisibilità

[Shruikan1]

Ciao sto ragionando su un teorema sulla divisibilità tra i numeri naturali.

Ecco l'enunciato:

Siano a, b due numeri naturali; allora:

[*:1xuaxrcs]se a e b sono divisibili per m, allora $ a+b $ e $ a-b $ sono divisibili per m;[/*:m:1xuaxrcs]
[*:1xuaxrcs]se a è divisibile per m, allora $ a*b $ è divisibile per m; se poi anche b è divisibile per m, allora $ a*b $ è divisibile per
$ m^2 $;[/*:m:1xuaxrcs]
[*:1xuaxrcs]se a è divisibile per m e b è divisibile per n, allora $ a*b $ è divisibile per $ m*n $
[/*:m:1xuaxrcs][/list:u:1xuaxrcs]

1. Dire che a è divisibile per m significa che $ \exists q \in N | a = m*q $. Lo stesso per b ovvero $ \exists r \in N | b = m*r $.
Si ha quindi $ a + b = (m*q)+(m*r) = m*(q+r) $ quantità certamente divisibile per m.

2. Qui viene il mio dubbio.
$ a*b=(m*q)*b = m*(q*b) $. Se anche b è divisibile per m si torna al caso 1 e si ha:
$ a*b = (m*q)*(m*r) = m^2*(q*r) $ è giusto ?

3. $ a*b = (m*q)*(n*r) = (m*n)*(q*r) $ anche questa divisibile per $ m*n $

[@melia]

Le dimostrazioni sono corrette, citerei il fatto di aver dovuto far ricorso alle proprietà
1. distributiva
2a. associativa
2b. associativa e commutativa
3. associativa e commutativa