Teorema di cartesio
Voglio capire bene il teorema di Cartesio! A cosa serve? Sapreste indicarmi una fonte che parla di questo teorema? Vi ringrazio anticipatamente! Ciao amici! 
Risposte
Temo di darti una delusione, ma il teorema di Cartesio serve a molto poco, ormai. Una volta era utilizzato per la risoluzione algebrica dei sistemi misti, assieme all'ormai scomparso Tartinville. Adesso, per fortuna, i sistemi misti si risolvono solo graficamente.
Il criterio di Cartesio viene utilizzata soprattutto nelle equazione di secondo grado, ma si può generalizzare.
In pratica, dopo esserci assicurare che il \(\displaystyle \Delta \) del polinomio di secondo grado sia maggiore od uguale a 0, allora la regola di Cartesio afferma che ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice negativa, ad ogni variazione una radice positiva. Si ha una permanenza quando i coefficienti di un termine e del suo successivo sono concordi. Si ha una variazione quando sono discordi. Esempio pratico:
\(\displaystyle -2x^2+4x+7=0 \), il \(\displaystyle \Delta \geq 0 \), per cui mettiamo in ordine i coefficienti \(\displaystyle -2,+4,+7 \),abbiamo quindi in ordine una variazione, dal segno meno al segno più, ed una permanenza del segno più. Per cui si avrà una radice positiva ed una negativa.
La generalizzazione per un polinomio di grado \(\displaystyle n \) ed a coefficienti reali segue la stessa strada.
Poichè il grado del polinomio è \(\displaystyle n \), per il teorema fondamentale dell'algebra esso ammette al massimo \(\displaystyle n \) radici, supponiamo reali. Allora il massimo numero di radici positive è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, il massimo numero di radici negative è dato dal numero di permanenze tra coefficienti consecutivi.
@melia: potresti soffermarti di più su questo teorema? Sembra interessante. Per sistema misto si intende un sistema con equazioni e disequazioni?
In pratica, dopo esserci assicurare che il \(\displaystyle \Delta \) del polinomio di secondo grado sia maggiore od uguale a 0, allora la regola di Cartesio afferma che ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice negativa, ad ogni variazione una radice positiva. Si ha una permanenza quando i coefficienti di un termine e del suo successivo sono concordi. Si ha una variazione quando sono discordi. Esempio pratico:
\(\displaystyle -2x^2+4x+7=0 \), il \(\displaystyle \Delta \geq 0 \), per cui mettiamo in ordine i coefficienti \(\displaystyle -2,+4,+7 \),abbiamo quindi in ordine una variazione, dal segno meno al segno più, ed una permanenza del segno più. Per cui si avrà una radice positiva ed una negativa.
La generalizzazione per un polinomio di grado \(\displaystyle n \) ed a coefficienti reali segue la stessa strada.
Poichè il grado del polinomio è \(\displaystyle n \), per il teorema fondamentale dell'algebra esso ammette al massimo \(\displaystyle n \) radici, supponiamo reali. Allora il massimo numero di radici positive è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, il massimo numero di radici negative è dato dal numero di permanenze tra coefficienti consecutivi.
@melia: potresti soffermarti di più su questo teorema? Sembra interessante. Per sistema misto si intende un sistema con equazioni e disequazioni?
Bene a sapersi, 
.
Sarà per questo che il mio testo dice pochissimo, infatti viene accennato ma con un solo esempio! Ma la curiosità è a cosa serve e come si utilizza!
Grazie mille!
. Sarà per questo che il mio testo dice pochissimo, infatti viene accennato ma con un solo esempio! Ma la curiosità è a cosa serve e come si utilizza!
Grazie mille!
"giannirecanati":
Il criterio di Cartesio viene utilizzata soprattutto nelle equazione di secondo grado, ma si può generalizzare.
In pratica, dopo esserci assicurare che il \(\displaystyle \Delta \) del polinomio di secondo grado sia maggiore od uguale a 0, allora la regola di Cartesio afferma che ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice negativa, ad ogni variazione una radice positiva. Si ha una permanenza quando i coefficienti di un termine e del suo successivo sono concordi. Si ha una variazione quando sono discordi. Esempio pratico:
\(\displaystyle -2x^2+4x+7=0 \), il \(\displaystyle \Delta \geq 0 \), per cui mettiamo in ordine i coefficienti \(\displaystyle -2,+4,+7 \),abbiamo quindi in ordine una variazione, dal segno meno al segno più, ed una permanenza del segno più. Per cui si avrà una radice positiva ed una negativa.
La generalizzazione per un polinomio di grado \(\displaystyle n \) ed a coefficienti reali segue la stessa strada.
Poichè il grado del polinomio è \(\displaystyle n \), per il teorema fondamentale dell'algebra esso ammette al massimo \(\displaystyle n \) radici, supponiamo reali. Allora il massimo numero di radici positive è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, il massimo numero di radici negative è dato dal numero di permanenze tra coefficienti consecutivi.
@melia: potresti soffermarti di più su questo teorema? Sembra interessante. Per sistema misto si intende un sistema con equazioni e disequazioni?
Ti ringrazio, per avermi spiegato questo teorema!
Ma cosa è questa Variazione e Permanenza?
Per sistema misto intendo esattamente quello che hai detto.
Tipo questo (l'ho preso dal mio libro di terza liceo, è da risolvere con Cartesio)
$\{((k^2-1)x^2-(2k+1)x+1=0),(x<=0):}$
Tipo questo (l'ho preso dal mio libro di terza liceo, è da risolvere con Cartesio)
$\{((k^2-1)x^2-(2k+1)x+1=0),(x<=0):}$
Ho trovato qualcosa quì:
http://www.controappuntoblog.org/2012/0 ... atematica/
Ma mi sembra di aver capito, che si tratta di un metodo che stabilisce i segni, tutto qui? Dove potrei ritrovarla utile?
Ecco un esempio:
$ 4x^2-13x+8=0 $
Una variazione (+ e -) ed una seconda variazione (- e +)
Giusto?
Ma come posso fare a determinare i segni delle soluzioni senza risolverla? Se si risolve è semplice dire il valore di $ x1 $ e $ x2 $ ! Poi lo schema che si trova sul mio testo, a primo impatto, non mi sta tornando facile a comprendere le cose!
Però ho fatto delle prove e sembra che i risultati coincidono, ecco quì:
$ 4x^2-13x+8=0 $
Prima variazione
$ + * - = - $
conseguenza una radice positiva
Seconda variazione
$ - * + = - $
conseguenza una radice positiva
Es. sapendo che $ (x-x1)(x-x2) $ ovviamente diventa $ (x+x1)(x+x2) $
Dite che ho compreso bene?
http://www.controappuntoblog.org/2012/0 ... atematica/
Ma mi sembra di aver capito, che si tratta di un metodo che stabilisce i segni, tutto qui? Dove potrei ritrovarla utile?
Ecco un esempio:
$ 4x^2-13x+8=0 $
Una variazione (+ e -) ed una seconda variazione (- e +)
Giusto?
Ma come posso fare a determinare i segni delle soluzioni senza risolverla? Se si risolve è semplice dire il valore di $ x1 $ e $ x2 $ ! Poi lo schema che si trova sul mio testo, a primo impatto, non mi sta tornando facile a comprendere le cose!
Però ho fatto delle prove e sembra che i risultati coincidono, ecco quì:
$ 4x^2-13x+8=0 $
Prima variazione
$ + * - = - $
conseguenza una radice positiva
Seconda variazione
$ - * + = - $
conseguenza una radice positiva
Es. sapendo che $ (x-x1)(x-x2) $ ovviamente diventa $ (x+x1)(x+x2) $
Dite che ho compreso bene?
"Bad90":
Prima variazione
$ + * - = - $
conseguenza una radice positiva
Seconda variazione
$ - * + = - $
Direi che questo e l'ultimo passaggio è sbagliato. Infatti, non si stanno considerando prodotti tra \(\displaystyle + \) e \(\displaystyle - \). Ordinando i coefficienti consecutivi se trovi una variazione vuol dire che una soluzione è positiva, se c'è una permanenza c'è una soluzione negativa. La scomposizione di un trinomio notevole è sempre \(\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2) \), le radici sono infatti \(\displaystyle x=x_1 \) ed \(\displaystyle x=x_2 \), quindi è sbagliato scrivere \(\displaystyle a(x+x_1)(x+x_2) \). Cartesio può essere utile in molti esercizi come: determinare il segno delle radici dell'equazione al variare di \(\displaystyle k\in \mathbb{R} \):
\(\displaystyle x^2-(2k-1)x+k=0 \)
@melia ti ringrazio per il chiarimento.
"Bad90":
... si tratta di un metodo che stabilisce i segni, tutto qui? Dove potrei ritrovarla utile?
Come ti ha già detto Amelia, ormai la sua utilità è scarsa ma può dare un certo controllo dei calcoli: ad esempio se vedo due variazioni ed ho una soluzione negativa ho la certezza che c'è un errore. Inoltre in molti problemi interessano solo le soluzioni positive e posso dire se ce ne saranno e quante prima ancora di risolvere l'equazione (ammesso che le soluzioni siano reali).
Ok, bene a sapersi, grazie mille!
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