Teorema della permanenza del segno +dimostrazione

[DaFnE1]

Qualcuno sarebbe così gentile da dimostrarmi passo dopo passo il t.della permanenza del segno?!
Dal libro mi sono persa..o.O grazie!

[Feliciano1]

Quale passaggio non ti è chiaro?
Comunque io ho studiato questo teorema riferito ai limiti di successioni, immagino invece che tu ti riferica ai limiti di funzioni giusto?
Comunque l'idea di fondo del teorema è quella di dire che se il limite di una funzione è positivo allora in un intorno del punto in cui abbiamo calcolato il limte la funzione è sempre positiva e ciò è abbastanza intuitivo perchè se in questo intorno il limite e la funzione devono stare "azzeccati" è accettabile che se il limte è positivo anche la funzione sarà positiva.
Parlando più seriamente, basta conoscere la definizione di limite e considerare ad esempio $\epsilon=l/2$
quindi in questo intorno della x che stiamo considerando si deve necessariamente verificare $|f(x)-l| $-l/2 A questo punto basta osservare che la funzione è compresa fra due cose che sono certametne positive per ipotesi e quindi essa stessa deve essere positiva.
Stesso ragionamento nel caso di limite negativo.