Teorema della derivata di una funzione composta

[Andrea902]

Buongiorno a tutti!
Sto studiando le derivate da autodidatta e noto che i libri di testo che possiedo non forniscono la dimostrazione del teorema della derivata di una funzione composta. Ho cercato su Internet ed ho trovato una dimostrazione su Wikipedia che mi sembra un po' impegnativa ed una dimostrazione, molto sintetica, in questo sito. I link sono i seguenti:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
e
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710241865/
Quale delle due, secondo voi, è la più rigorosa? Avete delle altre dimostrazioni indicate per il Liceo Scientifico?

Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

[G.D.5]

Io nel link al pdf non la trova la dimostrazione. Mi dici a che pagine sta?

[Andrea902]

La dimostrazione nel file pdf si trova a pagina 10...

[G.D.5]

Direi che, sostanzialmente, fanno la stessa cosa: usano il rapporto incrementale della funzione composta e lo spezzano in quelli delle funzioni componenti. Non è che una è più rigorosa e l'altra meno. E' che quella sul pdf viene dagli appunti di una studentessa universitaria, quindi alcune cose sono sottointese (e.g., lo spezzare il rapporto incrementale, di suo, non porta a niente, serve il passaggio al limite, dacché la derivata questo è, ma chi scrive è una studentessa e quelli sono i suoi appunti, quindi non è che si mette puntellare tutto), mentre in wikipedia la dimostrazione è riportata in contesto comunque di carattere divulgativo, quindi il requisito di chiarezza e completezza è maggiormente richiesto. In sostanza, uno studente di matematica sa che per derivare deve passare al limite, quindi negli appunti, quello che può essere sottointeso e lasciato alle conoscenze basilari dello studente, viene sottointeso, in un articolo divulgativo può succedere che una simpatica casalinga con la passione per la matematica lo legge, quindi c'è bisogno di maggiore chiarezza, di mettere il puntino su tutte le "i".
Il tutto, IMHO.

[desko]

Io ricordo ancora quasi con angoscia la formula della derivata di $f(x)^g(x)$: qualcosa che non si fa con la derivazione a catena e veramente mostruosa come formula risolutiva. Ce la mostrò la prof del liceo, credo senza dimostrarcela.

[VINX89]

"desko":Io ricordo ancora quasi con angoscia la formula della derivata di $f(x)^g(x)$: qualcosa che non si fa con la derivazione a catena e veramente mostruosa come formula risolutiva. Ce la mostrò la prof del liceo, credo senza dimostrarcela.

Noi, a dire il vero, l'abbiamo dimostrata in modo semplicissimo. Si fa il logaritmo di entrambi i menbri, si "toglie" g(x) come esponente (proprietà del logaritmo di una potenza), si derivano entrambi i membri (il secondo è solo un prodotto), si fà qualche piccolo artificio di calcolo e il gioco è fatto....

[Andrea902]

Concordo con VINX89... la dimostrazione della derivata della funzione $[f(x)]^(g(x))$, a mio avviso, è molto semplice (oltre quella ricordata da VINX89 ne ho lette delle altre, che mi sono sembrate facilissime). Forse la formula, nel complesso, non è facilmente memorizzabile; infatti autori come G. Zwirner e M. Scovenna esortano a non impararla a memoria e ad applicare, di volta in volta, i passaggi della dimostrazione.

[Fioravante Patrone1]

"Andrea90":
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710241865/
Quale delle due, secondo voi, è la più rigorosa? Avete delle altre dimostrazioni indicate per il Liceo Scientifico?

Questa non è rigorosa.
Purtroppo l'incremento $g(x) - g(x_0)$ si può annullare.

E' per questo motivo che tipicamente i libri di analisi usano quel rigiro che hai visto e che fa uso del differenziale.

Naturalmente, si contano sulle dita di una mano (o forse meno?) quei manuali che si degnano di spiegare perché non si possa seguire la strada apparentemente più semplice, ma scorretta, che hai visto sul sito.

[Andrea902]

Infatti, lo sospettavo... la dimostrazione proposta su questo sito è quella a cui accenna lo Zwirner nei suoi testi per le scuole superiori, puntualizzando però che in questo caso l'incremento della variabile $x$ non è nullo (la maggior parte dei casi... ma non sempre).
Comunque, alla fine, ho scelto di seguire la strada proposta da Wikipedia e, tanto per curiosità, è possibile trovare la stessa dimostrazione (forse più alla portata di studenti di Liceo Scientifico, in quanto illustra passo passo tutti i meccanismi ed i perchè della dimostrazione stessa) al link:
http://www.chihapauradellamatematica.or ... parte2.htm .

Grazie a tutti per l'attenzione prestatami!